Question

一宇航員抵達一半徑為R的星球表面后，為了測定該星球的質量，做了如下的實驗：取一根細線穿過光滑的細直管，細線一端拴一質量為m的砝碼，另一端連接在一固定的測力計上，手握細直管掄動砝碼，使砝碼在同一豎直平面內作完整的圓周運動，停止掄動并穩定細直管后，砝碼仍可繼續在一豎直面內作完整的圓周運動，如圖所示．此時觀察測力計得到當砝碼運動到圓周的最低點和最高點兩位置時測力計的讀數差為△F，已知引力常量為G．試根據題中所給條件和測量結果，求：（忽略彈簧的伸長變化）
（1）該星球表面的重力加速度g；
（2）該星球的質量M．

Answer 1

分析：（1）細線對砝碼的拉力與砝碼所受合力提供砝碼做圓周運動的向心力，由牛頓第二定律列方程可以求出星球表面的重力加速度．
（2）在星球表面的物體受到的重力等于星球對它的萬有引力，由此可以求出星球的質量．

解答：解：（1）設砝碼圓周運動的半徑為L，據牛頓第二定律：
在最高點：F₁+mg=m

v 2 1

L

  ①，
在最低點：F₂-mg=m

v 2 2

L

  ②，
由最高點到最低點由動能定理得：

1

2

mv₂²-

1

2

mv₁²=mg×2L  ③，
已知F₂-F₁=△F        ④，
由①②③④解得：g=

△F

6m

；
（2）在星球表面，物體受到的重力等于星球對它的萬有引力，
即m′g=G

Mm′

R2

，則星球質量M=

gR2

G

=

R2△F

6Gm

；
答：（1）該星球表面的重力加速度g=

△F

6m

；
（2）該星球的質量M=

R2△F

6Gm

．

點評：知道繩子拉力與重力的合力提供向心力，應用向心力公式列方程，熟練應用動能定理，知道在星球表面物體受到啊重力等于萬有引力，即可正確解題．