Question

【題目】科技館有一套兒童喜愛的機械裝置，其結構簡圖如下：傳動帶AB部分水平，其長度L=1.2m，傳送帶以3m/s的速度順時針勻速轉動，大皮帶輪半徑r=0.4m，其下端C點與圓弧軌道DEF的D點在同一水平線上，E點為圓弧軌道的最低點，圓弧EF對應的圓心角且圓弧的半徑R=0.5m，F點和傾斜傳送帶GH的下端G點平滑連接，傾斜傳送帶GH長為x=4.45m，其傾角。某同學將一質量為0.5kg且可以視為質點的物塊靜止放在水平傳送帶左端A處，物塊經過B點后恰能無碰撞地從D點進入圓弧軌道部分，當經過F點時，圓弧給物塊的摩擦力f=14.5N，然后物塊滑上傾斜傳送帶GH。已知物塊與所有的接觸面間的動摩擦因數均為，重力加速度，,,，求：

（1）物塊由A到B所經歷的時間；

（2）DE弧對應的圓心角為多少；

（3）若要物塊能被送到H端，傾斜傳動帶順時針運轉的速度應滿足的條件及物塊從G到H端所用時間的取值范圍。

Answer 1

【答案】(1)0.7s (2) (3),

【解析】

（1）物體在水平傳送帶上，由牛頓第二定律得：

所以：

物體加速到3m/s的時間：

在加速階段的位移：

物體做勻速直線運動的時間：

物塊由A到B所經歷的時間：t=t1+t2=0.7s

(2)若物體能在B點恰好離開傳送帶做平拋運動，則滿足：

所以：

所以物體能夠在B點離開傳送帶做平拋運動，平拋的時間：

解得：

到達D點時物體沿豎直方向的分速度：

到達D點時物體的速度與水平方向之間的夾角：

所以：α=530

即DE弧對應的圓心角α為530

（3）當經過F點時，圓弧給物塊的摩擦力f=14.5N，所以物體在F點受到的支持力：

物體在F點時，支持力與重力的分力提供向心力得：

代入數據得：v3=5m/s

物體在傾斜的傳動帶上受到重力、支持力和滑動摩擦力的作用，滑動摩擦力：

f′=μmgcos370=2N

重力沿斜面向下的分力：Fx=mgsin370=3N>f′

可知物體不可能相對于傳動帶靜止，所以物體在傳送帶上將一直做減速運動，物體恰好到達H點時速度為0.

Ⅰ、若傳送帶的速度大于等于物體在F點的速度，則物體受到的摩擦力的方向向上，物體一直以不變的加速度向上做減速運動；此時：Fx-f′=ma3

解得：a3=2m/s2

物體的位移為：

代入數據解得：t′=1.16s（或t′=3.84s不合題意）

Ⅱ、若傳送帶的速度小于物體在F點的速度，則物體先相對于傳送帶向上運動，受到的摩擦力的方向向下；當物體的速度小于傳送帶的速度后，受到的摩擦力方向向上，物體繼續向上做減速運動，速度的大小發生變化。

設物體恰好能到達H點時，傳送帶的速度是vmin，且vmin<v3，物體到達H點的速度為0.

物體的速度大于傳送帶的速度時，物體受到的摩擦力的方向向下，此時：

Fx+f′=ma2，則a2=10m/s2

物體的速度小于傳送帶的速度時，物體受到的摩擦力方向向上，則：

Fx-f′=ma3，則a3=2m/s2

物體向上的減速運動若過來看，也可以是向下的加速運動，初速度為0，末速度為v3，設下面的一段時間為t4，上面的一段時間為t5，可得：，，

聯立以上三式，代入數據得：t4=0.1s，t5=2.0s，vmin=4m/s

物體從F點運動到H點的總時間：

綜合以上的分析可知，若要物體能都到達H點，傳送帶的速度應滿足：vmin≥4m/s ，物體運動的時間范圍是： 1.16s≤t≤2.1s