Question

某校物理興趣小組決定舉行遙控賽車比賽，比賽路徑如圖所示．可視為質點的賽車從起點A出發，沿水平直線軌道運動L后，由B點進入半徑為R的光滑豎直半圓軌道，并通過半圓軌道的最高點C，才算完成比賽．B是半圓軌道的最低點，水平直線軌道和半圓軌道相切于B點．已知賽車質量m=0.5kg，通電后以額定功率P=2W工作，進入豎直圓軌道前受到的阻力恒為F_f=0.4N，隨后在運動中受到的阻力均可不計，L=10.00m，R=0.32m，（g取10m/s²）．求：
（1）要使賽車能通過C點完成比賽，通過C點的速度至少多大？
（2）賽車恰能完成比賽時，在半圓軌道的B點的速度至少多大？這時對軌道的壓力多大．
（3）要使賽車完成比賽，電動機從A到B至少工作多長時間．
（4）若電動機工作時間為t₀=5s，當R為多少時賽車既能完成比賽且飛出的水平距離又最大，水平距離最大是多少？

Answer 1

分析：（1）賽車恰好通過最高點時，靠重力提供向心力，根據牛頓第二定律求出通過C點的最小速度．
（2）根據機械能守恒定律求出賽車在B點的最小速度，根據牛頓第二定律求出賽車對軌道的壓力．
（3）對A到B過程運用動能定理，求出電動機從A到B至少工作的時間．
（4）根據動能定理求出賽車到達最高點的速度，結合平拋運動的規律求出水平位移，通過數學知識求出水平位移的最大值．

解答：解：（1）當賽車恰好過C點時在B點對軌道壓力最小，賽車在B點對有：mg=m

vc2

R

 解得：vc=

gR

=

4 5

5

m/s…①
（2）對賽車從B到C由機械能守理得：

1

2

mvB2=

1

2

mvc2+mg?2R…②
賽車在B處受力分析如圖，則：FN-mg=m

vB2

R

…③
由①②③得：vB=

5gR

=4m/s
F_N=6mg=30N   
由牛頓第三定律知，對軌道的壓力大小等于30N    
（3）對賽車從A到B由動能定理得：
Pt-FfL=

1

2

mvB2-0  
解得：t=4s   
（4）對賽車從A到C由動能定理得：
Pt0-FfL-mg?2R=

1

2

mv02
賽車飛出C后有：2R=

1

2

gt2，x=v₀t   
解得：x=

-16(R2- 3 5 R)

所以當R=0.3m時x最大，x_max=1.2m    
答：（1）要使賽車能通過C點完成比賽，通過C點的速度至少

4 5

5

m/s．
（2）賽車恰能完成比賽時，在半圓軌道的B點的速度至少4m/s，這時對軌道的壓力為30N．
（3）要使賽車完成比賽，電動機從A到B至少工作4s．
（4）當R=0.3m時x最大，x_max=1.2m

點評：本題考查了動能定理、機械能守恒定理以及牛頓第二定律的綜合運用，涉及到直線運動、圓周運動、平拋運動，難度中等，是一道好題．