Question

如圖所示，有兩塊大小不同的圓形薄板(厚度不計)，質量分別為M和m，半徑分別為R和r，兩板之間用一根長的輕繩相連結（未畫出）。開始時，兩板水平放置并疊合在一起，靜止于距離固定支架C高度處。然后自由下落到C上，支架上有一半徑為 ()的圓孔，圓孔與兩薄板中心均在圓板中心軸線上。薄板M與支架發生沒有機械能損失的碰撞（碰撞時間極短）。碰撞后，兩板即分離，直到輕繩繃緊。在輕繩繃緊的瞬間，兩板具有共同速度V.不計空氣阻力，，求：

小題1:兩板分離瞬間的速度大小V₀；
小題2:若，求輕繩繃緊時兩板的共同速度大小V ；
小題3:若繩長未定，（K取任意值），其它條件不變，輕繩長度滿足什么條件才能使輕繩繃緊瞬間兩板的共同速度V方向向下。

Answer 1

小題1:2m/s
小題2:
小題3:

(1) 開始 M與m自由下落，據機械能守恒：(M+m)gh＝(M+m)V₀²  （2分）
所以，V₀＝＝2m/s   （2分）
（2）M碰撞支架后以V₀返回作豎直上拋運動，m繼續下落做勻加速運動。經時間t， M上升高度為h₁，m下落高度為h₂。則：
h₁＝V₀t－gt²    h₂＝V₀t＋gt²，                      （1分）
則h₁＋h₂＝2V₀t＝0.4m，   故：        （1分）
設繩繃緊前M速度為V₁， m的速度為V₂，有
V₁＝V₀－gt＝2－10×0.1＝1m/s   （1分）
V₂＝V₀＋gt＝2＋10×0.1＝3m/s  （1分）
繩繃緊時，取向下為正方向，根據動量守恒， mV₂－MV₁＝(M+m)V（2分）
得 （1分）
（3）要使兩板共同速度V向下，由于為任意值，必須使M板反彈后在下落階段繩子才拉直。
當M剛到達最高點時，細繩繃緊，此時繩長最小。
薄板M速度減為0的時間 （1分）
薄板M上升的最大高度 （1分）
這段時間內薄板m下降 （1分）
繩長 （1分）
當M下落到C處時，細繩繃緊，此時繩長最長。
當M落到C時，歷時 （1分）
薄板m下降距離為 （1分）
綜上可得，要使V向下，繩長應滿足。（1分）