Question

我國發射的“神州”六號飛船于2005年10月12日上午9：00在酒泉載人航天發射場發射升空，經變軌后飛船在距地面一定高度的圓軌道上飛行．在太空飛行約115小時30分，環繞地球77圈，在完成預定空間科學和技術實驗任務后于北京時間10月17日在內蒙古中部地區準確著陸．
（1）根據以上數據估算飛船的運行周期和軌道距離地面的高度．（地球半徑為R=6.4×10⁶m，地球表面的重力加速度g=10m/s²，取π²=10，295～310的立方根取6.74）
（2）當返回艙降落距地球10km時，回收著陸系統啟動，彈出傘艙蓋，連續完成拉出引導傘、減速傘和主傘動作，主傘展開面積足有1200m²，由于空氣阻力作用有一段減速下落過程，若空氣阻力與速度平方成正比，即f=kv²，并已知返回艙的質量為m₀=8.0×10³kg，這一過程最終勻速時的收尾速度為v₁=14m/s，則當返回艙速度為v₂=42m/s時的加速度為多大？
（3）當返回艙在距地面1m時，點燃反推火箭發動機，最后以不大于v₃=4.0m/s的速度實現軟著陸，這一過程中反推火箭產生的反推力至少等于多少？（設反推火箭發動機點火后，空氣阻力不計，可以認為返回艙做勻減速直線運動）

Answer 1

分析：（1）先由題可求得飛船的運行周期．飛船繞地球飛行的過程中，由萬有引力提供向心力，在地面上，萬有引力等于重力，根據這兩個關系列式求解；
（2）當飛船達到收尾速度v₁=14m/s時，重力等于阻力，可列式平衡方程求出k；再根據牛頓第二定律求速度為v₂=42m/s時的加速度；
（3）當軟著陸速度為v₃=4.0m/s時，反推力最小，根據牛頓第二定律和運動學公式結合求解．

解答：解：（1）由題意，飛船的運行周期約為：T=1.5h=5.4×10³s   ①
飛船繞地球飛行的過程中，萬有引力提供向心力，則：
  G

Mm

(R+h)2

=m

4π2

T2

（R+h）  ②
在地面有：G

Mm

R2

=mg   ③
由②③得：h=

3	R2T2g 4π2

-R    ④
代入數據解得：h=3.4×10⁵m 
（2）經分析，當飛船達到收尾速度v₁=14m/s時，其重力等于阻力，即：
  m₀g=k

v

2 1

   ⑤
當飛船的速度為：v₂=42m/s時，由牛頓第二定律得：
  k

v

2 2

-m0g=m₀a   ⑥
聯立⑤⑥式得：a=（

v 2 2

v 2 1

-1）g=80m/s²
（3）當軟著陸速度為v₃=4.0m/s時，反推力最小，設為F，
由牛頓第二定律得：F-m₀g=m₀a′⑦
又由運動學公式：

v

2 1

-

v

2 3

=2a′s       ⑧
聯立⑦⑧得，F=

m0( v 2 1 - v 2 3 )

2s

+m₀g=8×10⁵N
答：
（1）飛船的運行周期是5.4×10³s，軌道距離地面的高度是3.4×10⁵m．
（2）當返回艙速度為v₂=42m/s時的加速度為80m/s²．
（3）這一過程中反推火箭產生的反推力至少等于8×10⁵N．

點評：對于飛船、衛星類型的問題，關鍵要建立模型，理清解題思路，運用萬有引力定律、向心力公式和牛頓第二定律、運動學公式結合進行研究．