Question

如圖所示，半徑為R的光滑半圓環軌道豎直固定在一水平光滑的桌面上，在桌面上輕質彈簧被a、b兩個小球擠壓（小球與彈簧不拴接），處于靜止狀態．同時釋放兩個小球，小球a、b與彈簧在桌面上分離后，a球從B點滑上光滑半圓環軌道最高點A時速度為vA=

2gR

．已知小球a質量為m，小球b質量為2m，重力加速度為g．求：
（1）小球a在圓環軌道最高點對軌道的壓力；
（2）釋放后小球b離開彈簧時的速度v_b的大小；
（3）釋放小球前彈簧具有的彈性勢能．

Answer 1

分析：（1）小球a在圓環軌道最高點受到重力和軌道的彈力，由兩個力的合力提供向心力，由牛頓第二定律求解軌道對小球的彈力，由牛頓第三定律得到小球對軌道的壓力．
（2）小球a從B運動到A的過程中，只有重力做功，機械能守恒，求出小球a與彈簧分離時的速度大小v_a，根據動量守恒定律求解球b離開彈簧時的速度v_b的大小．
（3）釋放小球過程，彈簧的彈性勢能轉化為兩球的動能，由機械能守恒定律求解釋放小球前彈簧具有的彈性勢能．

解答：解：（1）設a球通過最高點時受軌道的彈力為N，由牛頓第二定律得
  mg+N=

m v 2 A

R

  ①
將數據代入①式解得：N=mg ②
由牛頓第三定律，a球對軌道的壓力為mg，方向豎直向上．
（2）設小球a與彈簧分離時的速度大小為v_a，取桌面為零勢面，小球a從B運動到A的過程中，由機械能守恒定律得：
 

1

2

m

v

2 a

=

1

2

m

v

2 A

+mg2R③
由③式解得  va=

6gR

④
小球a、b從釋放到與彈簧分離過程中，總動量守恒mv_a=2mv_b⑤
由⑤式解得：vb=

6gR

2

⑥
（3）彈簧的彈性勢能為：E_P=

1

2

m

v

2 a

+

1

2

mb

v

2 b

  ⑦
由⑦式解得：E_P=4.5mgR⑧
答：（1）小球a在圓環軌道最高點對軌道的壓力大小為mg，方向豎直向上；
（2）釋放后小球b離開彈簧時的速度v_b的大小為

6gR

；
（3）釋放小球前彈簧具有的彈性勢能是4.5mgR．

點評：本題物理過程很清晰，對于釋放彈簧的過程，動量守恒，機械能也守恒，小球a沿軌道向上滑行過程，機械能守恒．把握解題是關鍵．