Question

【題目】某同學設計了一款益智類的兒童彈射玩具，模型如圖所示，段是長度連續可調的豎直伸縮桿，BCD段是半徑為R的四分之三圓弧彎桿，DE段是長度為2R的水平桿， 與AB桿稍稍錯開。豎直標桿內裝有下端固定且勁度系數較大的輕質彈簧，在彈簧上端放置質量為m的小球。每次將彈簧的長度壓縮至P點后鎖定，設PB的高度差為h，解除鎖定后彈簧可將小球彈出。在彈射器的右側裝有可左右移動的寬為2R的盒子用于接收小球，盒子的左端最高點Q和P點等高，且與E的水平距離為x，已知彈簧鎖定時的彈性勢能Ep=9mgR，小球與水平桿的動摩擦因μ=0.5，與其他部分的摩擦不計，不計小球受到的空氣阻力及解除鎖定時的彈性勢能損失，不考慮伸縮豎直軒粗細變化對小球的影響且管的粗細遠小于圓的半徑，重力加速度為g。求：

(1)當h=3R時，小球到達管道的最高點C處時的速度大小vc；

(2)在(1)問中小球運動到最高點C時對管道作用力的大小；

(3)若h連續可調，要使該小球能掉入盒中，求x的最大值？

Answer 1

【答案】（1）；（2）F=9mg；（3）xmax=8R

【解析】

(1)設小球從P點運動至C點的過程中，機械能守恒，則有：

解得：

(2)設小球在C點時受到管道給的作用力向下．大小為F

得：F=9mg

根據牛頓第三定律，小球對管道的作用力大小為9mg

(3)從P到E的過程中，由動能定理得：

要使小球落入盒中且x取極值的臨界是正好從Q點掉入盒子，由E到Q做平拋運動得：

聯立可得：

故當h=5R時，有

判斷：該情況小球能通過最高點C，結果成立