Question

如圖所示是一個可以用來測量磁感應強度的裝置，其上部是一根粗細均勻截面積為S的細管子，下部是一個截面積為正方形（邊長為L）的容器，其底部與大氣相通，該容器左右兩壁為導體，其他各面是絕緣的．容器內有一個正方形的金屬活塞，其邊長也為L，可在金屬容器內無摩擦滑動，活塞下方有一輕質彈簧支撐著，彈簧所受彈力的大小與彈簧的形變長度成正比，比例系數為k（即F=k△x），活塞上部充滿密度為ρ的絕緣油．容器的左右兩壁與一電路連接，當被測磁場的磁感線垂直容器的外表面，閉合電鍵K后，豎直管中油柱的上表面的高度發生變化，以此來指示被測磁場的強弱．
（1）在如圖所示的情況下，閉合電鍵K后，油柱的上表面如何移動？
（2）若電流表的示數為I，油柱上表面變化的高度為x，則磁感應強度B為多大？
（3）在磁感應強度B保持不變的情況下，要使油柱的上表面高度差變化更明顯，可采用什么措施？（請列舉兩條）

Answer 1

分析：分別對閉合電鍵前后的活塞減小受力分析，得出平衡方程，根據兩個平衡方程求解出磁感應強度的大小；油柱上表面下降x，進入容器的液體的體積等于液柱減小的體積．

解答：解：（1）閉合電鍵K前，活塞受到：重力、彈簧的彈力和液體的壓強產生的壓力（大氣產生的壓力上下相互抵消）．設這時液體的高度為h₀，由受力平衡得：
mg+ρgh₀?L₂=F₀   ①
F₀是開始時彈簧的彈力．
閉合電鍵K后，電流的方向從右向左，根據左手定則可以判定安培力的方向向下，此時的受力平衡：
mg+ρgh?L²+BIL=F   ②
此時向下的力增加了一個，故液體的壓強產生的壓力要減小，即液體的高度要減小，油柱的是上表面要下降．
（2）油柱上表面下降x，進入容器的液體的體積：△V=S?x
活塞下降的高度：x′=

△V

L2

=

S

L2

?x
液體的高度：h=h₀-x+x′=h₀-（

S

L2

-1）x  ③
彈簧的彈力變化：F-F₀=k?x′=

S

L2

?kx④
聯立①②③④解得：B=

kS L2 -ρgL2( S L2 -1)

IL

x⑤
（3）通過⑤式可以看出：增大電流I或減小液體的密度ρ，減小彈簧的勁度系數k，減小細管的面積等都可以實現．
答：（1）在如圖所示的情況下，閉合電鍵K后，油柱的上表面油柱下移動；
（2）若電流表的示數為I，油柱上表面變化的高度為x，則磁感應強度為B=

kS L2 -ρgL2( S L2 -1)

IL

x；
（3）在磁感應強度B保持不變的情況下，要使油柱的上表面高度差變化更明顯，可采用I增大，k、ρ、

S

L2

減小等措施．

點評：（1）油柱上表面下降x，進入容器的液體的體積等于液柱減小的體積．
（2）要正確推導出活塞下降的高度；
（3）可以用胡克定律表達彈簧的彈力，也可以表達彈簧的彈力變化．后一種方法計算起來要簡單許多．