Question

如圖，在一個平面直角坐標系內，原點O處有一質點，質量為m。為使質點到達坐標為(d，d)的點P，現給質點施以大小為F的恒力，在起初的時間t₁內該力方向為x軸正方向，之后的時間t₂內該力變為y軸正方向，經過這兩段運動質點剛好到達P點。試求：

(1)比值t₁：t₂；
(2)質點到達P點時的速度。

Answer 1

(1) (2)v₂= 

(1)物體運動時的加速度
                      (1)
在t₁時間內x方向做勻變速直線運動，位移
x₁=                     (2)
t₁時間末速度
v₁=at₁                        (3)
t₂時間內x方向為勻速直線運動，位移
x₂=v₁t₂=at₁t₂                      (4)
y方向做勻變速直線運動，位移
                     (5)
y方向末速度
v₂=at₂                          (6)
物體最終到達P點，有
x₁+x₂=d                         (7)
y₂=d                            (8)
根據(2)(4)(5)(7)(8)解得
                     (9)
(2)根據(1)(5)(8)可解得：
t₂=                       (10)
由(9)(10)可得
t₁=                (11)
由(1)(3)(11)可得質點x方向末速度為
v₁=                (12)
由(1)(6)(10)可得質點y方向末速度為
v₂=                       (13)
評分標準：
(1)問6分，(2)(4)(5)(7)(8)(9)各1分
(2)問4分，(10)(11)(12)(13)各1分，末速度表達為大小和方向也可。
本題考查運動的合成與分解，當拉力F沿x軸方向時，物體沿著x軸做勻加速直線運動，先由牛頓第二定律求得加速度，再由運動學公式求得在t1時刻的速度大小和位移大小，當拉力F沿y軸方向時，物體做類平拋運動，在x軸方向勻速運動，沿y軸方向做勻加速直線運動，經過t2時間由v=at求得y軸方向分速度，再由運動學公式求得y軸方向位移，由P點坐標可知x軸和y軸方向位移均為d，列出公式可求得運動時間比值