Question

（10分）某飛船升空后，進入近地點距地心為r₁，遠地點距地心為r₂的橢圓軌道正常運行，然后飛船推進艙發動機點火，飛船開始變軌，即飛船在遠地點時，將質量為的燃氣以一定的速度向后方噴出后，飛船改做半徑為r₂的圓周運動。設距地球無窮遠處為引力勢能零點，則距地心為r、質量為的物體的引力勢能表達式為。已知地球質量，萬有引力常量G，地球表面處重力加速度為g，飛船總質量為，飛船沿橢圓軌道正常運行時遠地點、近地點兩處的速率與距地心的距離乘積相等。求：
（1）地球半徑；
（2）飛船在遠地點的速度大小v₂ ；
（3）飛船在遠地點時，應將的氣體相對于地球多大的速度向后方噴出才能進入半徑為r₂的圓軌道。

Answer 1

（1）（2）（3）

(1)地面附近                   ...................（1分）

R="    "               ……………………… （1分）
(2)由開普勒第二定律得      v₁ r₁₌ v₂ r₂ ……………………… （1分）                                       
飛船在橢圓軌道上運行，機械能守恒
   ……………………（1分）   
則聯立得    ………………（1分）          (3)設飛船在圓軌道上運行的速度為v₃，則

.................（1分）
     ……………………………（1分）                                                         
由動量守恒定律得  mv₂=(m-Δm)v₃ -Δmv₀          ................._.（1分）                                          
                 ………………………（1分）                           
得             …………（1分）