Question

【題目】有電阻的導電圓盤半徑為R，其邊緣用電阻不計的導電材料包裹，可繞固定點O在水平面內轉動，其軸心O和邊緣處電刷A均不會在轉動時產生阻力，空氣阻力也忽略不計。用導線將電動勢為Ｅ的電源、導電圓盤、電阻和開關連接成閉合回路，如圖甲所示在圓盤所在區域內充滿豎直向下的勻強磁場，如圖乙所示只在A、O之間的一塊圓形區域內存在豎直向下的勻強磁場，兩圖中磁場的磁感應強度大小均為B，且磁場區域固定。如果將開關S閉合，圓盤將會轉動起來。

（1）在圖甲中，將開關S閉合足夠長時間后，圓盤轉速達到穩定。

a．從上往下看，圓盤的轉動方向是順時針還是逆時針？

b．求穩定時圓盤轉動的角速度的大小。

（2）在圖乙中，進行了兩次操作：第一次，當圓盤加速到時將開關斷開，圓盤逐漸減速停下；第二次，當圓盤加速到時將開關斷開，圓盤逐漸減速停下。已知從理論上可以證明：在圓盤減速過程中任意一個極短的時間內，角速度的變化量，F是該時刻圓盤在磁場區域受到的安培力的大小，k為常量。求兩次操作中從開始減速到停下的過程中圓盤轉過的角度之比。

（3）由于圖甲中的磁場范圍比圖乙中的大，所以剛閉合開關瞬時，圖甲中圓盤比圖乙中圓盤加速得快。有人認為：斷開開關后，圖甲中圓盤也將比圖乙中圓盤減速得快。請分析說明這樣的想法是否正確。

Answer 1

【答案】（1）a. 逆時針方向 b. (2) θ1:θ2=1:2 (3)錯誤

【解析】試題分析（1）根據右手定則可以確定圓盤的轉動方向，根據法拉電磁感應定律可以求角速度；（2）根據角度與角速度的關系式進行求解即可；（3）根據渦流產生原理進行分析。

（1）a . 從上往下看，圓盤的轉動方向是逆時針方向。

b．圓盤轉動時，產生沿半徑方向的感應電動勢，在與軸O距離為r處沿半徑方向取一小段長度Δr，這一小段距離上的感應電動勢，從軸O到圓盤邊緣處求和

可得感應電動勢

當轉動穩定后，圓盤的感應電動勢（即反電動勢）與電源電動勢相等

因此有

解得：

（2）圖乙中開關斷開圓盤減速時，由于磁場區域固定，所以仍有圓盤的感應電動勢，且可認為圓盤中電流流經的路徑及電阻不變

因此安培力，即安培力F與角速度ω成正比

由題意知：在任意一段極短的時間內，角速度的變化量

考慮到其中，可知（為另一常量）

又因為（圓盤轉過角度的變化量）

因此有：對應任一小段時間，總有

所以，從開始減速到停下的這段時間內，圓盤轉過的角度正比于其角速度的改變量，即。

（3）開關斷開后，由于圖甲中磁場充滿整個圓盤，使得圓盤沿每條半徑方向的感應電動勢都一樣大，電荷只在盤心和盤邊緣處積累，不會在圓盤內部形成電流（渦流），因此在開關斷開后，只要沒有其它的阻力，圓盤將勻速轉動不會減速。圖乙中由于磁場存在于圓盤中的一部分區域內，使得開關斷開后，仍有電流在圓盤內部形成回路（渦流），進而引起安培力使圓盤減速。因此這樣的想法錯誤。