Question

有個(gè)演示實(shí)驗(yàn)，在上下面都是金屬板的玻璃盒內(nèi)，放了許多錫箔紙揉成的小球，當(dāng)上下板間加上電壓后，小球就上下不停地跳動(dòng)．現(xiàn)取以下簡(jiǎn)化模型進(jìn)行定量研究．
如圖所示，電容量為C的平行板電容器的極板A和B水平放置，相距為d，與電動(dòng)勢(shì)為ε、內(nèi)阻可不計(jì)的電源相連．設(shè)兩板之間只有一個(gè)質(zhì)量為m的導(dǎo)電小球，小球可視為質(zhì)點(diǎn)．已知：若小球與極板發(fā)生碰撞，則碰撞后小球的速度立即變?yōu)榱悖瑤щ姞顟B(tài)也立即改變，改變后，小球所帶電荷符號(hào)與該極板相同，電量為極板電量的α倍（α＜1）．不計(jì)帶電小球?qū)�極板間勻強(qiáng)電場(chǎng)的影響．重力加速度為g．
（1）欲使小球能夠不斷地在兩板間上下往返運(yùn)動(dòng)，電動(dòng)勢(shì)ε至少應(yīng)大于多少？
（2）設(shè)上述條件已滿足，在較長(zhǎng)的時(shí)間間隔T內(nèi)小球做了很多次往返運(yùn)動(dòng)．求在T時(shí)間內(nèi)小球往返運(yùn)動(dòng)的次數(shù)以及通過(guò)電源的總電量．

Answer 1

（1）用Q表示極板電荷量的大小，q表示碰后小球電荷量的大小．要使小球能不停地往返運(yùn)動(dòng)，小球所受的向上的電場(chǎng)力至少應(yīng)大于重力，則
q

?

d

＞mg
其中  q=αQ
又有Q=Cε
由以上三式有  ε＞

mgd aC

；
電動(dòng)勢(shì)至少為

mgd aC

；
（2）當(dāng)小球帶正電時(shí)，小球所受電場(chǎng)力與重力方向相同，向下做加速運(yùn)動(dòng)．以a₁表示其加速度，t₁表示從A板到B板所用的時(shí)間，則有
q

?

d

+mg=ma₁
d=

1

2

a₁t₁²
當(dāng)小球帶負(fù)電時(shí)，小球所受電場(chǎng)力與重力方向相反，向上做加速運(yùn)動(dòng)，以a₂表示其加速度，t₂表示從B板到A板所用的時(shí)間，則有
q

?

d

-mg=ma₂
d=

1

2

a₂t₂²
小球往返一次共用時(shí)間為（t₁+t₂），故小球在T時(shí)間內(nèi)往返的次數(shù)
n=

T

t1+t2

由以上關(guān)系式得n=

T

2md2 aC?2+mgd + 2md2 aC?2-mgd

小球往返一次通過(guò)的電量為2q，
在T時(shí)間內(nèi)通過(guò)電源的總電量Q'=2qn
由以上兩式可得
Q'=

2aC?T

2md2 aC?2+mgd + 2md2 aC?2-mgd

；
往返次數(shù)為

T

2md2 aC?2+mgd + 2md2 aC?2-mgd

，T內(nèi)通過(guò)電源的總電量為

2aC?T

2md2 aC?2+mgd + 2md2 aC?2-mgd

．