Question

如圖甲，一邊長為L=1m、電阻為R=3Ω的正方形金屬線框MNPQ水平平放在光滑絕緣水平地面上，在地面上建立如圖所示坐標系，空間存在垂直地面的磁場，在0的區域Ⅰ中磁場方向向上，在的區域Ⅱ中磁場方向向下，磁感應強度的大小隨x的變化規律如圖乙所示，開始時刻線框MN邊與y軸重合。
（1）若給線框以水平向右的初速度，同時在PQ邊施加一水平拉力，之后線框做v=1m/s的勻速直線運動，求第2秒內水平拉力做的功；
（2）若Ⅰ、Ⅱ區域中的磁場均為磁感應強度為B=0.8T的勻強磁場，方向仍如圖甲，現在圖示位置給線框一初速度，線框MN邊運動到磁場區域Ⅱ的右邊界時速度恰為零，設線框從MN邊在區域Ⅰ中運動時線框中產生的熱量為Q₁，線框MN邊在區域Ⅱ中運動時線框中產生的熱量為Q₂，求。

Answer 1

解：（1）PQ在區域Ⅱ中距中間邊界△x，而MN在區域Ⅰ距中間邊界時
PQ邊產生的感應電動勢
MN邊產生的感應電動勢
故回路中的電動勢
由于線框勻速運動，故水平拉力做的功等于線框中產生的焦耳熱，即J
（2）設初速度為v₀，勻速運動一段時間后減速，MN邊到達中間界線時速度為v₁，接著又勻速運動一段時間后，再減速，最后速度為0，則對跨越中間邊界的過程根據動量定理有
2BL
對跨越最右邊界的過程據動量定理有
線圈運動時產生的平均感應電動勢，，電量
聯立化簡得
由上式可得：
則
故，
則