Question

如圖甲，一邊長為L=lm、電阻為R=3Ω的正方形金屬線框MNPQ水平平放在光滑絕緣水平地面上，在地面上建立如圖所示坐標系，空間存在垂直地面的磁場，在0≤x＜2m的區域I中磁場方向向上，在2＜x≤4m 的區域Ⅱ中磁場方向向下，磁感應強度的大小隨x的變化規律如圖乙，開始時刻線框MN邊與y軸重合．

（1）若給線框以水平向右的初速度，同時在PQ邊施加一水平拉力，之后線框做v=1m/s 的勻速直線運動，求第2秒內水平拉力做的功；
（2）若I、Ⅱ區域中的磁場均為磁感應強度為B=0.8T的勻強磁場，方向仍如圖甲，現在圖示位置給線框一初速度，線框MN邊運動到磁場區域Ⅱ的右邊界時速度恰為零，設線框從MN邊在區域I中運動時線框中產生的熱量Q₁，線框MN邊在區域Ⅱ中運動時線框中產生的熱量為Q₂，求

Q1

Q2

．

Answer 1

分析：（1）用法拉第電磁感應定律求出回路中的電動勢，水平拉力做的功等于線框中產生的焦耳熱；
（2）線框勻速運動一段時間后減速，MN邊到達中間界線時速度為v₁，接著又勻速運動一段時間后，再減速，最后速度為0，對跨越邊界的過程據動量定理和法拉第電磁感應定律與電量的計算公式：q=

.

I

△t，最后取得Q₁和Q₂的關系公式．

解答：解：（1）PQ在區域Ⅱ中距中間邊界△x，而MN在區域I 距中間邊界L-△x時，PQ邊產生的感應電動勢：E₁=（0.2+0.3x）Lv
MN邊產生的感應電動勢：E₂=[0.2+0.3△x（L-△x）]Lv
代人數據解得回路中的電動勢：E=E₁+E₂=0.7V
由于線框勻速運動，故水平拉力做的功等于線框中產生的焦耳熱，即
W=Q=

E2

R

t=0.163J
（2）設初速度為v₀，勻速運動一段時間后減速，MN邊到達中間界線時速度為v₁，接著又勻速運動一段時間后，再減速，最后速度為0，則對跨越中間邊界的過程據動量定理有
2BL

.

I

△t=2BLq1=mv0-mv1
對跨越最右邊界的過程據動量定理有：BLq₂=mv₁-0
線圈運動時產生的平均感應電動勢：

.

E

=

△Φ

△t

  

.

I

=

. E

R

，電量q=

.

I

△t
聯立化簡得 q=

△Φ

R

由上式可得：q₁=2q₂
 則 v₀=5v₁
故：Q1=

1

2

m

v

2 0

-

1

2

m

v

2 1

  Q2=

1

2

m

v

2 1

-0  
 則：

Q1

Q2

=24
答：（1）第2秒內水平拉力做的功W=0.163J；
（2 ）

Q1

Q2

=24．

點評：考查楞次定律、法拉第電磁感應定律、閉合電路歐姆定律及焦耳定律等規律的應用，同時掌握圖象在本題的應用