Question

長(zhǎng)為L(zhǎng)的輕繩一端固定在O點(diǎn)，另一端栓一質(zhì)量為m的小球，將小球拉到最高點(diǎn)A點(diǎn)，以v₀=(

gL

2

)

1

2

的水平速度推出，求小球經(jīng)過最低點(diǎn)時(shí)繩子的拉力大小？（分別用動(dòng)能定理和機(jī)械能守恒定律兩種方法解題）

Answer 1

分析：求出小球在最高點(diǎn)做圓周運(yùn)動(dòng)的最小速度，若初速度大于最小速度，小球做圓周運(yùn)動(dòng)，若初速度小于最小速度，小球先做平拋運(yùn)動(dòng)，然后做圓周運(yùn)動(dòng)，在平拋運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)變?yōu)閳A周運(yùn)動(dòng)的過程有能量損失．然后根據(jù)動(dòng)能定理或機(jī)械能守恒求出最低點(diǎn)的速度，根據(jù)牛頓第二定律求出繩子的拉力．

解答：解：根據(jù)mg=m

vmin

L2

，則在最高點(diǎn)做圓周運(yùn)動(dòng)的最小速度vmin=

gL

．
v₀＜v_min，所以小球先做平拋運(yùn)動(dòng)，繩子拉直后做圓周運(yùn)動(dòng)．
設(shè)小球做平拋運(yùn)動(dòng)水平位移為x時(shí)，繩子拉直．
則平拋運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t=

x

v0

，平拋運(yùn)動(dòng)的豎直位移y=

1

2

gt2=

1

2

g

x2

v02

，
根據(jù)勾股定理，有x²+（L-y）²=L²，
將v0=

gL 2

代入，
解得x=L．
知平拋運(yùn)動(dòng)的末位置正好與圓心在同一水平線上．
此時(shí)豎直分速度vy=

2gL

．
水平分速度不變，將水平分速度和豎直分速度沿半徑方向和垂直于半徑方向分解，
由于繩子繃緊，沿半徑方向的速度立即消失，只剩下垂直于半徑方向的速度，
此時(shí)的速度v=vy=

2gL

．
方法一：根據(jù)動(dòng)能定理得，mgL=

1

2

mv′2-

1

2

mv2，解得v′²=4gL
根據(jù)牛頓第二定律得，F(xiàn)-mg=m

v2

L

，解得F=5mg．
方法二：根據(jù)機(jī)械能守恒定律，

1

2

mv 2+mgL=

1

2

mv′2
解得v′²=4gL
根據(jù)牛頓第二定律得，F(xiàn)-mg=m

v2

L

，解得F=5mg．
故小球經(jīng)過最低點(diǎn)時(shí)繩子的拉力大小為5mg．

點(diǎn)評(píng)：解決本題的關(guān)鍵確定小球的運(yùn)動(dòng)情況，知道若初速度大于最高點(diǎn)做圓周運(yùn)動(dòng)的最小速度，小球做圓周運(yùn)動(dòng)，若初速度小于最高點(diǎn)做圓周運(yùn)動(dòng)的最小速度，小球先做平拋運(yùn)動(dòng)，然后做圓周運(yùn)動(dòng)，在平拋運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)變?yōu)閳A周運(yùn)動(dòng)的過程有能量損失．