Question

如圖，一“?”形絕緣導軌豎直放置，處在水平向右的勻強電場中．左邊的半圓弧與水平桿ab、cd相切于a、c兩點，兩水平桿的高度差為h，桿長為4L，O為ad、bc連線的交點，虛線MN、M′N′的位置如圖，其中aM=MM′=CN=NN′=L，M′b=N′d=2L．一質量為m，帶電量為-q的小球穿在桿上．虛線MN左邊的導軌光滑，虛線MN右邊的導軌與小球之間的動摩擦因數為μ．已知：在O處沒有固定點電荷+Q的時候，將帶電小球自N點由靜止釋放后，小球剛好可到達a點．現在O處固定點電荷+Q，并將帶電小球自d點以初速度v₀向左瞬間推出．結果小球可沿桿運動到b點．（靜電力恒量為k，重力加速度為g，在運動過程中+Q對-q的電場力始終小于小球的重力）求：
（1）勻強電場的電場強度E；
（2）運動過程中小球所受摩擦力的最大值f_m和小球經過M′點時的加速度大小a；
（3）使小球能夠運動到b點的初速度v₀的最小值．

Answer 1

（1）根據動能定理研究帶電小球自N點由靜止釋放后，小球剛好可到達a點過程
由題意有：qEL-mgh=0-0=0
∴E=

mgh

qL

（2）運動過程中小球受重力、向上的彈力、向左的摩擦力、向左的電場力，指向O點的庫侖力，
根據正交分解可知：小球經過M′點時庫侖力豎直向下達到最大值，球與軌道之間的彈力最大，所受的滑動摩擦力最大．
f_m=μN=μ（mg+

kQq

( h 2 )2

）=μ（mg+

4kQq

(h)2

）
小球經過M′點時的加速度大小為：a=

qE+fm

m

=

mgh L +μ(mg+ 4kQq h2 )

m

=

gh

L

+μ(g+

4kQq

mh2

)
（3）根據對稱性可知，由d→b，小球克服摩擦力做的功等效為：
W_f=mgμ×6L=6mgμL
而電場力做的功為零
∴初速度v₀的最小值應滿足：

1

2

m

v

20

=mgh+Wf
∴v0=

2gh+12gμL

答：（1）勻強電場的電場強度是

mgh

qL

；
（2）運動過程中小球所受摩擦力的最大值是μ（mg+

4kQq

(h)2

），小球經過M′點時的加速度大小是

gh

L

+μ(g+

4kQq

mh2

)；
（3）使小球能夠運動到b點的初速度v₀的最小值是

2gh+12gμL

．