Question

如圖所示，輕桿長為3L，在桿的A、B兩端分別固定質量均為m的球A和球B，桿上距球A為L處的點O裝在光滑水平轉動軸上，桿和球在豎直面內做勻速圓周運動，且桿對球A、B的最大約束力相同，則（　　）

• A、B球在最低點較A球在最低點更易脫離軌道
• B、若B球在最低點和桿作用力為3mg，則A球在最高點受桿的拉力
• C、若某一周A球在最高點和B球在最高點受桿的力大小相等，則A球受桿的支持力、B球受桿的拉力
• D、若每一周做勻速圓周運動的角速度都增大、則同一周B球在最高點受桿的力一定大于A球在最高點受桿的力

Answer 1

分析：當物體所受的外力相等時，所需要的向心力越大，越容易產生離心現象；兩球做圓周運動，由重力和桿的作用力的合力提供向心力，根據牛頓第二定律列式分析．在最高點，桿對球可能是支持力，也可能是拉力．

解答：解：
A、兩球的角速度相同，由向心力公式F_n=mω²r，由于B的半徑較大，所需要的向心力較大，而由題意：兩球的重力相等，桿對兩球的最大拉力相等時，在最低點時，兩球的最大合外力相等，所以B球更容易做離心運動，更容易脫離軌道．故A正確．
B、若B球在最低點和桿作用力為3mg，設B球的速度為v_B．
則根據牛頓第二定律得：N_B-mg=m

v 2 B

2L

，且N_B=3mg，得：v_B=2

gL

；
由v=ωr，ω相等，A的半徑是B的一半，則得此時A的速度為 v_A=

1

2

vB=

gL

對A球：設桿的作用力大小為N_A，方向向下，則有：mg+N_A=m

v 2 A

L

，解得N_A=0，說明桿對A球沒有作用力，故B錯誤．
C、若某一周A球在最高點和B球在最高點受桿的力大小相等，設為F．
假設在最高點桿對A、B球產生的都是支持力，有：
  對B球：mg-F=mω²?2L，；
  對A球：mg-F=mω²L；
很顯然上述兩個方程不可能同時成立，說明假設不成立，則知兩球所受的桿的作用力不可能同時是支持力．
對B球，若桿對B球產生的是拉力，有：mg+F=mω²?2L，；
對A球，若桿對A球產生的是拉力，有：F+mg=mω²L；
兩個方程不可能同時成立，所以不可能兩球同時受桿的是拉力；
對B球，若桿對B球產生的是拉力，有：mg+F=mω²?2L，；
對A球，若桿對A球產生的是支持力，有：F-mg=mω²L；
兩個方程能同時成立，所以可能A球受桿的是支持力、B球受桿的是拉力；
對B球，若桿對B球產生的是支持力，有：mg-F=mω²?2L，；
對A球，若桿對A球產生的是拉力，有：F+mg=mω²L；
兩個方程不能同時成立，所以不可能A球受桿的是拉力，而B球受桿的是支持力；
綜上，A球在最高點和B球在最高點受桿的力大小相等時，A球受桿的是支持力、B球受桿的是拉力．故C正確．故C正確．
D、若兩球最高點所受的桿的作用力都是支持力，
則對B球，若桿對B球產生的是支持力，有：mg-F_B=mω²?2L，得F_B=mg-2mω²L；
對A球，若桿對A球產生的是支持力，有：mg-F_A=mω²L，得F_A=mg-mω²L
由上兩式得：每一周做勻速圓周運動的角速度都增大，F_A＞F_B，故D錯誤．
故選：AC

點評：解答豎直平面內的圓周運動問題，關鍵分析向心力的來源，把握住的臨界條件，有時要結合機械能守恒定律研究．