Question

（2011?廣東三模）如圖甲，直筒A連同固定在直筒底部的豎直桿的總質量為M=50kg．直筒內部高度H=13.75m；另有一質量為m=2kg的小鐵環B套在細桿上，從細桿的底部以v₀=20m/s的初速度開始向上運動且剛好能到達箱頂；已知小鐵環與桿之間的滑動摩擦力大小恒為f=10N，不計空氣阻力，g取10m/s²，

6

=2.5．求：
（1）直筒內細桿長h為多少？
（2）在圖乙給定的坐標中，畫出鐵環從筒底開始上升到第一次返回到筒底的過程中直筒對地面的壓力大小F隨時間變化的圖象（寫出簡要推算步驟，計算結果小數點后取一位）
（3）若鐵環與筒底每次碰撞都沒有能量損失，求小環從開始運動到最終停止在筒底，所走過的總路程是多少？

Answer 1

分析：（1）根據動能定理研究小鐵環從細桿的底部以一定的初速度開始向上運動且剛好能到達箱頂的過程求解細桿長度．
（2）分析鐵環從筒底開始上升到第一次返回到筒底的過程，運用運動學規律求出各段過程對應的時間．
對直筒進行受力分析，根據平衡條件求出各段過程中直筒對地面的壓力大小．
（3）根據動能定理求出小環反彈后第二次假設能升到桿頂需要的初動能，與小環在桿底實際的動能對比判斷小環能否越過桿頂．再由動能定理求解所走過的總路程．

解答：
解：（1）根據動能定理研究小鐵環從細桿的底部以一定的初速度開始向上運動且剛好能到達箱頂的過程得：
-mgH-fs=0-

1

2

mv₀²      
h=12.5m
（2）設第一次沿桿上升到達桿頂用時t₁，速度為v₁：
小鐵環從桿頂到達箱頂做一段勻減速運動，到達箱頂速度為零．
根據v2

-v

2 0

=2ax得：
v₁=

2g(H-h)

=5.0m/s     
根據勻變速直線運動規律x=

v0+v

2

t得
t₁=

2h

v0+v1

=1.0s             
第一次離開桿頂到返回桿頂用時t₂：
t₂=

2v1

g

=1.0s      
第一次從桿頂滑到桿底速度為v₂，沿桿下滑用時t₃：
由動能定理研究小環從箱頂到桿底的過程：mgH-fh=

1

2

mv₂²
v₂=5

6

m/s=12.3m/s             
t₃=

2h

v1+v2

=（

6

-1）s=1.5s   
隔離直筒，對其受力分析，根據平衡條件和牛頓第三定律得：
直筒對地面的壓力大小F分別為：
0～1.0s：→F₁=Mg-f=490N   
1.0s～2.0s→F₂=Mg=500N      
2.0s～3.5s→F₃=Mg+f=510N   
如圖．
（3）小環反彈后第二次能升到桿頂在桿底所需要的初動能
E_k0=mgh+fh=2×10×12.5+10×12.5=375J    
小環第一次滑到桿底的動能為E_K2
E_K2=

1

2

m

v

2 2

=150.0J     
可知：E_K2＜E_k0
所以小環只能越過桿頂一次，
設小環在桿上反復滑行的總路程為s，由動能定理：
-fs=-

1

2

m

v

2 2

                   得：s=15.0m           
總路程：s′=2H+s=42.5m    
答：（1）直筒內細桿長h為12.5m，
（2）見上圖
（3）小環從開始運動到最終停止在筒底，所走過的總路程是42.5m．

點評：了解研究對象的運動過程是解決問題的前提，根據題目已知條件和求解的物理量選擇物理規律解決問題．
一個題目可能需要選擇不同的過程多次運用動能定理研究．