Question

有一輛質量為800kg的小汽車駛上圓弧半徑為50m的拱橋．（g取10m/s²）
（l）汽車到達橋頂時速度為5m/s，汽車對橋的壓力是多大？
（2）汽車以多大速度經過橋頂時便恰好對橋沒有壓力而騰空？
（3）汽車對地面的壓力過小是不安全的，因此從這個角度講，汽車過橋時的速度不能過大，對于同樣的車速，拱橋圓弧的半徑大些比較安全，還是小些比較安全？
（4）如果拱橋的半徑增大到與地球半徑R一樣，汽車要在地面上騰空，速度要多大？（已知地球半徑為6400km）

Answer 1

分析：（1）在最高點重力和支持力的合力提供向心力，根據向心力公式和牛頓第二定律可列式求解；
（2）汽車對橋恰好無壓力，重力完全提供向心力，根據向心力公式和牛頓第二定律可列式求解．
（3）根據第1題拱橋對汽車的支持力表達式進行分析．
（4）汽車要在地面上騰空，所受的支持力為零，運用根據向心力公式和牛頓第二定律可列式求解．

解答：解：（1）汽車到達橋頂時，豎直方向受到重力G和橋對它的支持力N的作用．
汽車對橋頂的壓力大小等于橋頂對汽車的支持力N，汽車過橋時做圓周運動，重力和支持力的合力提供向心力；
根據牛頓第二定律得：mg-N=m

v2

r

，
有：N=mg-m

v2

r

=（800×10-800×

52

50

）N=7600N．
根據牛頓第三定律得知，汽車對橋的壓力大小N′=N=7600N，方向豎直向下．
（2）汽車經過橋頂恰好對橋沒有壓力而騰空，則N=0，汽車做圓周運動的向心力完全由其自身重力來提供，所以有：
  mg=m

v 2 0

r

得：v₀=

gr

=

10×50

m/s=22.4m/s．
（3）由第1題得知：N′=mg-m

v2

r

，v相同時，拱橋半徑r越大，N′越大，越安全．
（4）汽車要在地面上騰空，所受的支持力為零，由重力提供向心力，則有：mg=m

v 2 m

R

得 v_m=

gR

=

10×6400×103

m/s=8000m/s
答：
（1）汽車到達橋頂時速度為5m/s，汽車對橋的壓力是7600N．
（2）汽車以22.4m/s的速度經過橋頂時便恰好對橋沒有壓力而騰空．
（3）對于同樣的車速，拱橋圓弧的半徑越大比較安全．
（4）如果拱橋的半徑增大到與地球半徑R一樣，汽車要在地面上騰空，速度要8000m/s．

點評：本題關鍵找出車經過橋的最高點時的向心力來源，然后根據牛頓第二定律和向心力公式列式求解．