Question

【題目】某高速公路的一個出口路段如圖所示，情景簡化：轎車從出口A進入匝道，先勻減速直線通過下坡路段至B點（通過B點前后速率不變），再勻速率通過水平圓弧路段至C點，最后從C點沿平直路段勻減速到D點停下。已知轎車在A點的速度v0=72km/h，AB長L1=l50m；BC為四分之一水平圓弧段，限速（允許通過的最大速度）v=36km/h，輪胎與BC段路面間的動摩擦因μ=0.5，最大靜摩擦力可認為等于滑動摩擦力，CD段為平直路段長L2=50m，重力加速度g取l0m/s2。

（1）若轎車到達B點速度剛好為v=36km/h，求轎車在AB下坡段加速度的大小；

（2）為保證行車安全，車輪不打滑，求水平圓弧段BC半徑R的最小值及轎車A點到D點全程的最短時間。

Answer 1

【答案】(1)1m/s2；(2)

【解析】

由題圖可知，考查了運動學與動力學綜合問題。根據物體的運動狀態，進行受力分析和運動分析，分段討論：

（1）轎車在AB段做勻減速直線運動，已知初速度、位移和末速度，根據速度位移關系公式求解加速度。

（2）轎車在BC段做勻速圓周運動，由靜摩擦力充當向心力，為保證行車安全，車輪不打滑，所需要的向心力不大于最大靜摩擦力，據此列式求解半徑R的最小值。分三段，分別由運動學公式求解時間，即可得到總時間。

解：（1）轎車在AB段做勻減速直線運動，有：；

得加速度大小為。

（2）轎車在圓弧路段做圓周運動，由靜摩擦力充當向心力，為保證安全，則有；

又

聯立解得

故水平圓弧段BC半徑R的最小值是20m。

設AB段運動時間為t1，BC段勻速圓周運動的時間為t2，CD段勻減速直線運動的時間為t3，全程所用最短時間為t。則，

得；

，得；

，得；

故