Question

如圖所示，在x≥0的區域內存在與xOy平面垂直的勻強磁場，磁感應強度的大小為B，方向垂直于紙面向里。假設一束初速度為零的質量為m、帶電荷量為q的正離子，經過加速電場加速后從O點沿x軸正方向進入勻強磁場區域。有一塊厚度不計、高度為d的金屬板豎直放置在磁場中，截面如圖，M、N分別為金屬板截面的上、下端點，M點的坐標為（d，2d），N點的坐標為（d，d）。正離子的重力不計。

（1）加速電場的電壓在什么范圍內，進入磁場的離子才能全部打在金屬板上？
（2）求打在金屬板上的離子在磁場中運動的最短時間與最長時間的比值。（sin37°=0.6， cos37°=0.8）

Answer 1

（1）要使進入磁場的離子能全部打在金屬板上，加速電壓的取值范圍應為
 ≤≤
（2）

試題分析：（1）設加速電壓為，正離子初速度為零，經過加速電場加速，根據動能定理得
（1分）
正離子在磁場中做勻速圓周運動，洛倫茲力提供向心力：
，得（2分）

加速電壓較小時，離子在磁場中做勻速圓周運動的半徑較小，當離子恰好打到金屬板下端點時，圓周運動的半徑有最小值，如圖甲所示。
根據幾何知識可以判斷：（1分）
解得 （2分）
加速電壓較大時，離子在磁場中做勻速圓周運動的半徑較大，當離子恰好打到金屬板上端點時，圓周運動的半徑有最大值，如圖乙所示。
根據幾何知識可以判斷：（1分）
解得 （1分）
解得（2分）
要使進入磁場的離子能全部打在金屬板上，加速電壓的取值范圍應為
 ≤≤（1 分）
設離子在磁場中做勻速圓周運動的周期為，根據圓周運動規律得
（2分）
即離子在磁場中做勻速圓周運動的周期與加速電壓無關。
打在金屬板上的離子在圖甲所示的軌跡中運動時間最短：
（1分）
打在金屬板上的離子在圖乙所示的軌跡中運動時間最長：
（1分）
根據幾何知識：（1分）
則
所以（2分）