Question

【題目】如圖所示，在水平面內(nèi)有兩根間距為l的金屬導(dǎo)軌平行放置，導(dǎo)軌末端通過一小段塑料接口與足夠長的傾斜平行金屬導(dǎo)軌平滑連接，傾角為θ。在區(qū)域Ⅰ，Ⅲ和Ⅳ中，存在垂直于導(dǎo)軌向上的勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度分別為B1，B2和B3；區(qū)域Ⅱ中導(dǎo)軌粗糙，寬度為d。其余部分均光滑。磁場邊界AA′上放置金屬棒a，磁場邊界CC′右側(cè)附近靜止放置金屬棒b，傾斜導(dǎo)軌足夠遠(yuǎn)處連接有電感為L的電感線圈。現(xiàn)讓金屬棒a以初速度v0進(jìn)入磁場，發(fā)現(xiàn)它最終剛好停在了CC′（邊界左側(cè)），而金屬棒b恰能滑入傾斜軌道。已知金屬棒a與軌道粗糙部分的動(dòng)摩擦因數(shù)為，金屬棒a的電阻為R，其余電阻均不計(jì)，金屬棒a、b的質(zhì)量均為m，重力加速度取g，求：

（1）在金屬棒a剛進(jìn)入磁場瞬間，金屬棒b的加速度；

（2）金屬棒a在離開區(qū)域Ⅰ后產(chǎn)生的焦耳熱Q；

（3）金屬棒b能沿傾斜導(dǎo)軌向下滑行的最大距離xm。（已知自感線圈的自感電動(dòng)勢）

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）

【解析】

（1）a棒進(jìn)入磁場瞬間，產(chǎn)生電動(dòng)勢和電流分別為

，

所以棒b受到的安培力為

由牛頓第二定律得

解得

（2）設(shè)金屬棒a離開磁場Ⅰ區(qū)域時(shí)的速度為v1，此時(shí)金屬棒b的速度為v2，金屬棒a在區(qū)域Ⅱ中做勻減速運(yùn)動(dòng)，可得

棒a穿越磁場區(qū)域Ⅰ過程中，由動(dòng)量定理可得

根據(jù)題意有

聯(lián)立解得

對棒b，在該過程中，由動(dòng)量定理可得

解得

之后，由能量關(guān)系可知，克服安培力做的功等于電路中產(chǎn)生的焦耳熱，金屬棒b此時(shí)的動(dòng)能將全部轉(zhuǎn)化成金屬棒a的焦耳熱Q，有

解得

（3）金屬棒b恰能滑入斜軌，則在斜軌上初速度為0，開始下滑，因?yàn)?/span>b棒與線圈組成的回路，直流電阻為零，所以必須滿足

可得

所以棒開始運(yùn)動(dòng)后棒上電流與棒的位移成正比，即

所以棒的運(yùn)動(dòng)方程為

可知金屬棒做簡諧運(yùn)動(dòng)，平衡位置時(shí)，a=0，即

由簡諧運(yùn)動(dòng)對稱性可知，下滑最大距離為