Question

近幾年，我國北方地區多次遭遇沙塵暴天氣．現把沙塵上揚后的情況簡化為如下情境：v為豎直向上的風速，沙塵顆粒被揚起后懸浮在空中（不動），這時風對沙塵的作用力相當于空氣不動而沙塵以速度v向下時所受的阻力，此阻力可表示為：f=aρAv²，其中a為一系數，A為沙塵顆粒截面積，ρ為空氣密度．計算結果取兩位有效數字．
（1）若沙粒的密度ρ_s=2.8×10³㎏/m³，沙塵顆粒為球形，半徑r=2.5×10^-4m，地球表面處空氣密度ρ₀=1.25㎏/m³，a=0.45，試估算在地面附近沙塵揚起的v值．
（2）假定空氣密度ρ隨高度h的變化關系為ρ=ρ₀（1-Ch），其中ρ₀為h=0處的空氣密度，C為一常數，C=1.2×10^-4/m^-1，試估算當v=9.0m/s時揚塵的最大高度．（不考慮重力加速度隨高度的變化，g取10m/s²）

Answer 1

分析：（1）在地面附近，沙塵揚起要能懸浮在空中，則空氣阻力至少應與重力平衡．應用平衡條件列式即可．
（2）設出最大高度h，表示出此處空氣密度，再由平衡條件列式計算即可．

解答：解：（1）在地面附近，沙塵揚起要能懸浮在空中，則空氣阻力至少應與重力平衡．即：
aρ0A

v

2 1

=mg…①
式中A=πr² …②
m=

4

3

πr3ρs…③
由①②③式得：
v1=

4ρsgr 3aρ0

，代入數據得：
v₁≈4.0m/s
（2）設最大高度h，此處空氣密度ρ_h，則：ρ_h=ρ₀（1-ch）…④
又：aρhAv2=mg…⑤
由②③④⑤式可解得：
h=

1

c

(1-

4rρsg

3av2ρ0

)，代入數據得：
h≈6.7×10³m
答：（1）地面附近沙塵揚起的v值為：4.0m/s
（2）當v=9.0m/s時揚塵的最大高度為：6.7×10³m

點評：本題為一個理論聯系實際的題目，核心是平衡條件的應用，但關鍵是怎樣把題目中的情景與學習的理論知識聯系在一起．