Question

在一種新的“子母球”表演中，讓同一豎直線上的小球A和小球B，從距水平地面高度為ph（p＞1）和h的地方同時由靜止釋放，如圖所示。球A的質量為m，球B的質量為3m。設所有碰撞都是彈性碰撞，重力加速度大小為g，忽略球的直徑、空氣阻力及碰撞時間。

（1）求球B第一次落地時球A的速度大小；
（2）若球B在第一次上升過程中就能與球A相碰，求p的取值范圍；
（3）在（2）情形下，要使球A第一次碰后能到達比其釋放點更高的位置，求p應滿足的條件。

Answer 1

（1）A球速率 （2）1＜p＜5   （3）1＜p＜3

（1）由于兩球同時釋放，所以球B第一次落地時A球下落的高度為h，設此時A球的速度大小為v₀，由可得，。
（2）球B第一次落地并與地發生彈性碰撞后做豎直上拋運動。
若球B上升到最大高度h處時剛好與球A發生碰撞，設此時球A自由下落的時間t_A，則=h，此時球A自由下落的高度。聯立以上兩式，可得h_A=4h，則ph=h_A+h=5h，所以p=5。
若球B在第一次上升過程中就能與球A相碰，則p的取值范圍應為1＜p＜5。
（3）設球B第一次落地并與地發生彈性碰撞后又上升了時間t就與球A相碰，則球A、B在空中碰前的速度大小分別為有和，設它們碰后的速度分別為和，選豎直向上為正方向，兩球發生彈性碰撞，根據動量守恒和能量守恒，
，
聯立解得，。
碰撞時，A球自由下落的高度，B球豎直上升的高度
則
聯立解得，即要使球A第一次碰后能到達比其釋放點更高的位置。
【考點定位】考查自由落體運動、豎直上拋運動、彈性碰撞等考點，意在考查考生的分析綜合能力。