Question

內壁光滑的環形細圓管，位于豎直平面內，環的半徑為R（比細管的半徑大得多）．在細圓管中有兩個直徑略小于細圓管管徑的小球（可視為質點）A和B，質量分別為m₁和m₂，它們沿環形圓管（在豎直平面內）順時針方向運動，經過最低點時的速度都是v₀；設A球通過最低點時B球恰好通過最高點，此時兩球作用于環形圓管的合力為零，那么m₁、m₂、R和v₀應滿足的關系式是______．

Answer 1

（1）A球通過最低點時，作用于環形圓管的壓力豎直向下，根據牛頓第三定律，A球受到豎直向上的支持力N₁，由牛頓第二定律，有：
N1-m1g=m1

v02

R

…①
由題意知，A球通過最低點時，B球恰好通過最高點，而且該時刻A、B兩球作用于圓管的合力為零；可見B球作用于圓管的壓力肯定豎直向上，根據牛頓第三定律，圓管對B球的反作用力N₂豎直向下；假設B球通過最高點時的速度為v，則B球在該時刻的運動方程為：
N2+m2g=m2

v2

R

…②
由題意有：N₁=N₂…③
得：m1g+m2g=

m2v2

R

-

m1v02

R

…④
對B球運用機械能守恒定律有：

1

2

m2v02=

1

2

m2v2+2m2gR…⑤
解得：v2=v02-4gR…⑥
⑥式代入④式可得：(m1+5m2)g+(m1-m2)

v02

R

=0．
故答案為：(m1+5m2)g+(m1-m2)

v02

R

=0．