Question

質量為m的鋼板與直立輕彈簧的上端連接，彈簧下端固定在地上．平衡時，彈簧的壓縮量為X₀，如圖所示．物塊從鋼板正對距離為3X₀的A處自由落下，打在鋼板上并立刻與鋼板一起向下運動，但不粘連，它們到達最低點后又向上運動．已知物體質量也為m時，它們恰能回到O點，求：
（1）物塊與鋼板碰后的速度v；
（2）彈簧被壓縮X₀時的彈性勢能E_p；
（3）若物塊質量為2m，仍從A處自由落下，則物塊與鋼板回到O點時，還具有向上的速度，物塊向上運動到最高點與O點的距離．

Answer 1

分析：（1）分析物體的運動過程：物塊先自由下落，機械能守恒．物塊與鋼板碰撞時，因碰撞時間極短，系統所受外力遠小于相互作用的內力，遵守動量守恒定律．碰撞后，彈簧、物塊與鋼板組成的系統機械能守恒．根據機械能守恒求出物塊與鋼板碰撞前瞬間的速度，再由動量守恒定律求解碰后的速度v；
（2）兩者以共同速度向下運動恰返回O點，說明此位置速度為零．運動過程中機械能守恒．列式求解．
（3）由題碰撞后，物塊與鋼板回到O點時，此時彈簧的彈性勢能與未碰撞時相等．根據動量守恒定律、機械能守恒定律和相等的條件分別研究物塊質量為m和2m的情況，再求解物塊向上運動到達最高點O點的距離．

解答：解：（1）物塊從3x₀位置自由落下，與地球構成的系統機械能守恒．則有
   mg?3x₀=

1

2

m

v

2 0

  ①
v₀為物塊與鋼板碰撞時的速度．因為碰撞板短，內力遠大于外力，鋼板與物塊間動量守恒．
設v₁為兩者碰撞后共同速度，則有  mv₀=2mv₁
由上述兩式得v₁=

3 2 gx0

（2）兩者以v_l向下運動恰返回O點，說明此位置速度為零．運動過程中機械能守恒．設接觸位置彈性勢能為E_p，則
  E_P+

1

2

（2m）

v

2 1

=2mgx₀ 
解得，E_P=

1

2

mgx0
（3）同理2m物塊與m物塊有相同的物理過程
碰撞中動量守恒2mv₀=3mv₂
所不同2m與鋼板碰撞返回O點速度不為零，設為v則
  E_P′+

1

2

?3m

v

2 2

=3mgx₀+

1

2

?3mv2
因為兩次碰撞時間極短，彈性形變未發生變化
  E_p=E′_p
由于2m物塊與鋼板過O點時彈力為零．兩者加速度相同為g，之后鋼板被彈簧牽制，則其加速度大于g，所以與物塊分離，物塊以v豎直上拋．
由運動學公式v 2-

v

2 0

=2ax，則得
  0-v²=-2gh
得h=

1

2

x0
答：
（1）物塊與鋼板碰后的速度v是

3 2 gx0

；
（2）彈簧被壓縮X₀時的彈性勢能E_p是

1

2

mgx0．
（3）若物塊質量為2m，仍從A處自由落下，則物塊與鋼板回到O點時，還具有向上的速度，物塊向上運動到最高點與O點的距離是

1

2

x0．

點評：此題涉及的物理過程有四個，用到的物理規律和公式有四個，它將動量守恒和機械能守恒完美地統一在一起，交替使用，可以說是一道考查考生能力的好試題．