Question

如圖所示，半徑為R的1/4光滑圓弧軌道最低點(diǎn)D與水平面相切，在D點(diǎn)右側(cè)L₀=4R處用長(zhǎng)為R的細(xì)繩將質(zhì)量為m的小球B（可視為質(zhì)點(diǎn)）懸掛于O點(diǎn)，小球B的下端恰好與水平面接觸，質(zhì)量為m的小球A（可視為質(zhì)點(diǎn)）自圓弧軌道C的正上方H高處由靜止釋放，恰好從圓弧軌道的C點(diǎn)切入圓弧軌道，已知小球A與水平面間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.5，細(xì)繩的最大張力F_m=7mg，重力加速度為g，試求：（1）若H=R，小球A到達(dá)圓弧軌道最低點(diǎn)D時(shí)所受軌道的支持力；
（2）試討論H在什么范圍內(nèi)，小球A與B發(fā)生彈性碰撞后細(xì)繩始終處于拉直狀態(tài)．

Answer 1

（1）設(shè)小球A運(yùn)動(dòng)到圓弧軌道最低點(diǎn)D時(shí)速度為v₀，
則由機(jī)械能守恒定律有：

1

2

mv₀²=mg（H+R） ①
圓弧軌道最低點(diǎn)，由牛頓第二定律可得：N-mg=m

v 20

R

②
解得：N=5mg ③；
（2）設(shè)A與B碰前速度為v_A，碰后A的速度為v_A′，B的速度為v_B，
A與B碰撞過(guò)程，由動(dòng)量守恒定律得：mv_A=mv_A′+mv_B ④
由機(jī)械能守恒定律得：

1

2

mv_A²=

1

2

mv_A′²+

1

2

mv_B² ⑤，
A在水平面上滑行過(guò)程，由動(dòng)能定理得：-μmgL₀=

1

2

mv_A²-

1

2

mv₀² ⑥
A、若碰后B能在豎直平面內(nèi)做完整的圓周運(yùn)動(dòng)，則細(xì)繩始終處于拉直狀態(tài)，
設(shè)小球B在最高處速度為v_B′，則在最高處有：mg≤m

v′ 2B

R

⑦
小球B從最低點(diǎn)到最高點(diǎn)：

1

2

mv_B²=

1

2

mv_B′²+mg?2R ⑧，
小球B在最低點(diǎn)時(shí)細(xì)繩受力最大，F(xiàn)_m-mg≥m

v 2B

R

⑨
聯(lián)立①④⑤⑥⑦⑧⑨解得：3.5R≤H≤4R ⑩，
B、若A與B碰后B擺動(dòng)的最大高度小于R，則細(xì)繩始終處于拉直狀態(tài)，則
根據(jù)機(jī)械能守恒得：

1

2

mv_B²≤mgR （11），
要保證A與B能發(fā)生碰撞，v_A＞0，（12）
聯(lián)立①④⑤⑥（11）（12）解得：R＜H≤2R；
答：（1）若H=R，小球A到達(dá)圓弧軌道最低點(diǎn)D時(shí)所受軌道的支持力為5mg；
（2）當(dāng)3.5R≤H≤4R或R＜H≤2R時(shí)，小球A與B發(fā)生彈性碰撞后細(xì)繩始終處于拉直狀態(tài)．