Question

自主招生附加題（本題不計入總分）
一只質量為3m的小鳥從地面以45度角，速率v發射，在最高點發生爆炸，變為三只質量為m的小鳥，爆炸之后瞬間三只小鳥速度均沿水平方向，且中間的一只小鳥速度和爆炸前沒有區別．已知落地的時候，最近和最遠的小鳥相距為d．（如果你沒有玩過“憤怒的小鳥”，請你把所有“小鳥”都換成“質點”）
（1）求爆炸至少使得小鳥們動能增加了多少？
（2）把“爆炸之后瞬間三只小鳥速度均沿水平方向”的條件改為，爆炸之后空中三只小鳥水平方向速度相等，那么當中點的小鳥落地的時候，還在空中的小鳥距離地面有多高？

Answer 1

（1）最高點高度h=

vy2

2g

=

(vsin45°)2

2g

=

v2

4g

．
最高點的速度vx=vcos45°=

2

2

v．
根據平拋運動的規律知，最遠和最近的小鳥的速度之差為

d

t

根據動量守恒定律知，三只小鳥水平方向上的速度之差相等，則相對速度為△v=

d

2t

下落時間t=

2 v

2g

則動能的增加量為△Ek=

1

2

mvx2+

1

2

m(vx+△v)2+

1

2

m(v-△v)2-

1

2

3mvx2
解得△Ek=

md2g2

2v2

．
（2）上下兩只鳥相對中間鳥的速度還是△v
所以高度為h′=t?△v=

d

2

．
答：（1）爆炸至少使得小鳥們動能增加了△Ek=

md2g2

2v2

．
（2）當中點的小鳥落地的時候，還在空中的小鳥距離地面有

d

2

．