Question

如圖所示，電阻忽略不計的兩根平行光滑的金屬桿構成的導軌傾斜放置，導軌平面與水平面間夾角θ=37°，導軌上端接一阻值為3Ω的電阻R．在水平虛線L₁、L₂間有一與導軌所在平面垂直的勻強磁場B，L₁、L₂間的距離為d=0.5m．導體棒a的質量m_a=0.2kg、電阻R_a=3Ω；導體棒b的質量m_b=0.1kg、電阻R_b=6Ω，它們分別從圖中M、N處同時由靜止開始沿導軌向下滑動，且都能勻速穿過磁場區域，當b 剛穿出磁場時a正好進入磁場．（不計a、b之間的作用，g取10m/s²）求：
（1）在整個過程中，a、b棒中分別產生的焦耳熱；
（2）最初釋放時a、b兩根導體棒之間的距離s．

Answer 1

分析：（1）在a穿越磁場的過程中，因a棒切割磁感線產生感應電流，可求出對應的安培力做功，同理b棒切割磁感線，產生感應電流，從而求出安培力做功，則兩棒整個過程中，產生的總焦耳熱為兩者之和．
（2）由運動學公式求出M、N兩點之間的距離．

解答：解：（1）因為兩金屬棒都是勻速穿過磁場的，所以安培力與重力沿導軌平面的分力等大，故克服安培力做功分別為W_a=m_agd sinθ=0.6J，W_b=m_bgd sinθ=0.3J            
故b、a切割磁感線時回路中產生的總焦耳熱分別為Q₁=W_b=0.3J，Q₂=W_a=0.6J         
設b切割磁感線時，其中電流為I，則電阻R和a棒上電流均為I/2，根據焦耳定律：Q=I²Rt
得導體棒b、a和電阻R上產生的焦耳熱之比Q_b：Q_a：Q_R=I²R_bt：(

I

2

)2Rat：(

I

2

)2Rt
代入數據得Q_b：Q_a：Q_R=8：1：1，
所以：Q_b=

4

5

Q₁=0.8×0.3=0.24J，Q_a=Q_R=

1

10

Q₁=0.1×0.3=0.03J
同理可得，當a切割磁感線時導體棒b、a和電阻R上產生的焦耳熱分別為

Q

′ a

=

3

5

Q₂=0.6×0.6=0.36J，

Q

′ b

=

2

15

Q₂=

2

15

×0.6=0.08J，Q_R′=

4

15

Q₂=

4

15

×0.6=0.16J
綜合可得，導體棒a中產生的焦耳熱為  Q_a+

Q

′ a

=0.03+0.36=0.39J   
b中產生的焦耳熱 Q_b+

Q

′ b

=0.24+0.08=0.32J        
（2）設b在磁場中勻速運動時速度為v_b，
b中的電流I_b=

BLvb

R1

，其中總電阻R₁=7.5Ω  
由以上各式得：

B2L2vb

R1

=m_bgsinθ
a在磁場中勻速運動時速度為v_a，
對a棒同理有：

B2L2va

R2

=m_agsinθ
其中總電阻R₂=5Ω．  
聯立上式得：

vb

va

=

3

4

又：v_a=v_b+gtsinθ
d=v_bt
解得：

v

2 a

=

16gdsinθ

3

，

v

2 b

=3gdsinθ，
所以最初釋放時a、b兩根導體棒之間的距離等于s=

v 2 a -v 2 b

2gsinθ

=

7

12

m
答：（1）在整個過程中，a、b棒中產生的焦耳熱分別為0.39J，0.32J；
（2）最初釋放時a、b兩根導體棒之間的距離為

7

12

m．

點評：本題考查了電磁感應定律，閉合電路歐姆定律以及焦耳熱的綜合應用，