Question

【題目】如圖所示為某種彈射裝置的示意圖，該裝置由三部分組成，傳送帶左邊是足夠長的光滑水平面，一輕質彈簧左端固定，右端連接質量 M=6.0kg 的物塊 A，物塊 A 靜止在水平面上．裝置的中間部分是水平傳送帶，它與左右兩邊的臺面等高，并能平滑對接．傳送帶以 u=2.0m/s 逆時針勻速運動．傳送帶的右邊是一個半徑 R=1.25m 位于豎直平面內的光滑圓弧軌道．某時刻起將一個質量m=2.0kg的物塊B從圓弧的最高處由靜止釋放．已知物塊 B 與傳送帶之間的動摩擦因數μ=0.1，傳送帶兩軸之間的距離l=4.5m，物塊 B 與 A 發生的碰撞為彈性碰撞．取g=10m/s2．求：

(1)物塊 B 與物塊 A 第一次碰撞后彈簧的最大彈性勢能；

(2)如果物塊 A、B 每次碰撞后，物塊 A 再回到平衡位置時彈簧都會被立即鎖定，而當它們再次碰撞前鎖定被解除，求物塊 B 從第1次與物塊 A 碰撞結束后，到第 5 次與物塊A碰撞前,物塊B一共在傳送帶上運動了多長時間．

Answer 1

【答案】（1）12J；（2）7.5s

【解析】

（1）設物塊 B 沿光滑曲面下滑到水平位置時的速度大小為 v0，

由機械能守恒定律得：

①

解得：

在傳送帶上，對物塊 B，由牛頓第二定律得：

μmg=ma ②

設物塊 B 通過傳送帶后運動速度大小為 v，有：

③

聯立解得：

由于 v＞u=2m/s，所以 v=4m/s 即為物塊 B 與物塊 A 第一次碰撞前的速度大小， 設物塊 A、B 第一次碰撞后的速度分別為 v2、v1，以向左為正方向， 由動量守恒定律得：

mv=mv1+Mv2 ④

由機械能守恒定律得：

⑤

聯立解得

v1 2m / s ，v2 2m / s

物塊 A 的速度為零時彈簧壓縮量最大，彈簧彈性勢能最大，由能量守恒定律得：

（2）碰撞后物塊 B 沿水平臺面向右勻速運動，設物塊 B 在傳送帶上向右運動的最大位移為 l′，由動能定理得：

⑥

解得：

l′=2m＜4.5m

所以物塊B不能通過傳送帶運動到右邊的曲面上。當物塊B在傳送帶上向右運動的速度為零后，將會沿傳送帶向左加速運動。

可以判斷，物塊B運動到左邊臺面時的速度大小為，

繼而與物塊A發生第二次碰撞。設第1次碰撞到第2次碰撞之間，物塊B在傳送帶運動的時間為t1。

由動量定理得：

，

解得：

，

設物塊A、B第一次碰撞后的速度分別為v4、v3，取向左為正方向，由動量守恒定律和能量守恒定律得：

，

，

代入數據解得：

，

當物塊B在傳送帶上向右運動的速度為零后，將會沿傳送帶向左加速運動。

可以判斷，物塊B運動到左邊臺面時的速度大小為，繼而與物塊A發生第2次碰撞。

則第2次碰撞到第3次碰撞之間，物塊B在傳送帶運動的時間為t2。由動量定理得：

解得：

，

同上計算可知：物塊B與物塊A第三次碰撞、第四次碰撞……

第n次碰撞后物塊B在傳送帶運動的時間為：

，

構成無窮等比數列，公比：

，

由無窮等比數列求和公式：可知，

物塊B經第一次與物塊A碰撞后到第 5 次與物塊A碰撞前，物塊B一共在傳送帶上運動的時間為：

。