Question

（Ⅰ）某實(shí)驗(yàn)小組利用如圖甲所示的實(shí)驗(yàn)裝置來驗(yàn)證機(jī)械能守恒定律．已知當(dāng)?shù)氐闹亓�加速度g=9.80m/s²

①實(shí)驗(yàn)小組選出一條紙帶如圖乙所示，其中O點(diǎn)為打點(diǎn)計(jì)時(shí)器打下的第一個(gè)點(diǎn)，A、B、C為三個(gè)計(jì)數(shù)點(diǎn)，在計(jì)數(shù)點(diǎn)A和B、B和C之間還各有一個(gè)點(diǎn)，測(cè)得h₁=12.01cm，h₂=19.15cm，h₃=27.86cm．打點(diǎn)計(jì)時(shí)器通以50Hz的交流電．根據(jù)以上數(shù)據(jù)算出：當(dāng)打點(diǎn)計(jì)時(shí)器打到B點(diǎn)時(shí)重錘的重力勢(shì)能比開始下落時(shí)減少了

 

J；此時(shí)重錘的動(dòng)能比開始下落時(shí)增加了

 

 J，根據(jù)計(jì)算結(jié)果可以知道該實(shí)驗(yàn)小組在做實(shí)驗(yàn)時(shí)出現(xiàn)的問題是

 

．（重錘質(zhì)量m已知）
②在圖乙所示的紙帶基礎(chǔ)上，某同學(xué)又選取了多個(gè)計(jì)數(shù)點(diǎn)，并測(cè)出了各計(jì)數(shù)點(diǎn)到第一個(gè)點(diǎn)O的距離h，算出了各計(jì)數(shù)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的速度v，以h為橫軸，以v²/2為縱軸畫出的圖線應(yīng)是如下圖中的

 

．圖線的斜率表示

 

．

（Ⅱ）碰撞的恢復(fù)系數(shù)的定義為e=

|v2-v1|

|v20-v10|

，其中v₁₀和v₂₀分別是碰撞前兩物體的速度，v₁和v₂分別是碰撞后物體的速度．彈性碰撞的恢復(fù)系數(shù)e=1，非彈性碰撞的e＜1．某同學(xué)借用驗(yàn)證動(dòng)力守恒定律的實(shí)驗(yàn)裝置（如圖所示）驗(yàn)證彈性碰撞的恢復(fù)系數(shù)是否為1，實(shí)驗(yàn)中使用半徑相等的鋼質(zhì)小球1和2（它們之間的碰撞可近似視為彈性碰撞），且小球1的質(zhì)量大于小球2的質(zhì)量．

實(shí)驗(yàn)步驟如下：
安裝好實(shí)驗(yàn)裝置，做好測(cè)量前的準(zhǔn)備，并記下重錘線所指的位置O．
第一步，不放小球2，讓小球1從斜槽上A點(diǎn)由靜止?jié)L下，并落在地面上．重復(fù)多次，用盡可能小的圓把小球的所落點(diǎn)圈在里面，其圓心就是小球落點(diǎn)的平均位置．
第二步，把小球2 放在斜槽前端邊緣處C點(diǎn)，讓小球1從A點(diǎn)由靜止?jié)L下，使它們碰撞．重復(fù)多次，并使用與第一步同樣的方法分別標(biāo)出碰撞后小球落點(diǎn)的平均位置．
第三步，用刻度尺分別測(cè)量三個(gè)落地點(diǎn)的平均位置離O點(diǎn)的距離，即線段OM、OP、ON的長度．
上述實(shí)驗(yàn)中，
①P點(diǎn)是

 

平均位置，
M點(diǎn)是

 

平均位置，
N點(diǎn)是

 

平均位置．
②請(qǐng)寫出本實(shí)驗(yàn)的原理

 

，寫出用測(cè)量量表示的恢復(fù)系數(shù)的表達(dá)式

 

．
③三個(gè)落地點(diǎn)距O點(diǎn)的距離OM、OP、ON與實(shí)驗(yàn)所用的小球質(zhì)量是否有關(guān)系？

 

．

Answer 1

分析：Ⅰ、根據(jù)物體下降的高度求出重力勢(shì)能的減小量，根據(jù)某段時(shí)間內(nèi)的平均速度等于中間時(shí)刻的瞬時(shí)速度求出B點(diǎn)的瞬時(shí)速度，從而得出動(dòng)能的增加量．根據(jù)動(dòng)能增加量與重力勢(shì)能減小量的大小關(guān)系分析誤差形成的原因．
根據(jù)機(jī)械能守恒定律得出

v2

2

-h的關(guān)系式，從而確定正確的關(guān)系圖線，根據(jù)表達(dá)式得出斜率的大小．
Ⅱ、根據(jù)小球碰撞前后的速度大小關(guān)系，確定落點(diǎn)的平均位置，抓住平拋運(yùn)動(dòng)的時(shí)間相等，用水平位移代替速度的大小，得出恢復(fù)系數(shù)的表達(dá)式．

解答：Ⅰ、①重錘的重力勢(shì)能的減小量△E_p=mgh₂=m×9.8×0.1915≈1.88m，B點(diǎn)的瞬時(shí)速度為：
vB=

h3-h1

4T

=

0.2786-0.1201

0.08

m/s=1.98m/s
則動(dòng)能的增加量為：△Ek=

1

2

mvB2=

1

2

×m×1.982=1.96m
因?yàn)閯?dòng)能的增加量大于重力勢(shì)能的減小量，可知該實(shí)驗(yàn)小組做實(shí)驗(yàn)時(shí)先釋放了紙帶，然后再合上打點(diǎn)計(jì)時(shí)器的電鍵 或者 釋放紙帶時(shí)手抖動(dòng)了．
②根據(jù)mgh=

1

2

mv2得：

1

2

v2=gh
知

1

2

v2-h圖線為傾斜的直線，因?yàn)橐彝瑢W(xué)實(shí)驗(yàn)中，動(dòng)能的增加量大于重力勢(shì)能的減小量，可能先釋放紙帶再接通電源，所以h=0時(shí)，速度不為零．故D正確，A、B、C錯(cuò)誤．
圖線的斜率表示重力加速度g．
Ⅱ、①因?yàn)榍?碰后的速度小于碰前的速度，碰后球1的速度小于球2的速度，初速度越大，水平位移越大，則P點(diǎn)是在實(shí)驗(yàn)的第一步中小球1落點(diǎn)的平均位置，M點(diǎn)是小球1與小球2碰后小球1落點(diǎn)的平均位置，N點(diǎn)是小球2落點(diǎn)的平均位置；
②本實(shí)驗(yàn)的原理是因?yàn)樾∏蜃銎綊佭\(yùn)動(dòng)的時(shí)間相等，水平位移x=v₀t，與時(shí)間成正比，所以可以用水平位移代替小球碰撞前后的速度．
小球做平拋運(yùn)動(dòng)，高度決定時(shí)間，故時(shí)間相等，設(shè)為t，則有
OP=v₁₀t
OM=v₁t
ON=v₂t
小球2碰撞前靜止，即：v₂₀=0；
因而碰撞系數(shù)為：e=

|v2-v1|

|v20-v10|

=

v2-v1

v10-v20

=

ON-OM

OP-0

=

ON-OM

OP

．
③平拋運(yùn)動(dòng)高度決定時(shí)間，水平射程由初速度和時(shí)間共同決定，因而OP與小球的質(zhì)量無關(guān)，但由于兩球碰撞過程動(dòng)量守恒，根據(jù)動(dòng)量守恒定律平拋的初速度與小球的質(zhì)量有關(guān)，因而OM和ON也與小球的質(zhì)量有關(guān)；
故答案為：（Ⅰ）①1.88m，1.96m，該實(shí)驗(yàn)小組做實(shí)驗(yàn)時(shí)先釋放了紙帶，然后再合上打點(diǎn)計(jì)時(shí)器的電鍵 或者 釋放紙帶時(shí)手抖動(dòng)了．
②D，重力加速度g 
（Ⅱ）①P點(diǎn)是在實(shí)驗(yàn)的第一步中小球1落點(diǎn)的平均位置； M點(diǎn)是小球1與小球2碰后小球1落點(diǎn)的平均位置； N點(diǎn)是小球2落點(diǎn)的平均位置    
②因?yàn)樾∏蜃銎綊佭\(yùn)動(dòng)的時(shí)間相等，水平位移x=v₀t，與時(shí)間成正比，所以可以用水平位移代替小球碰撞前后的速度．
e=

ON-OM

OP

③OP與小球的質(zhì)量無關(guān)，OM和ON與小球的質(zhì)量有關(guān)

點(diǎn)評(píng)：解決本題的關(guān)鍵知道實(shí)驗(yàn)的原理，掌握紙帶的處理方法，以及知道在第二個(gè)實(shí)驗(yàn)中，小球在空中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間相等，可以用水平位移代替初速度的大小．