Question

【題目】如圖甲所示，一光滑絕緣的水平軌道固定在離地面一定高度處，整個空間存在著水平向右的勻強電場。一質量為2m、不帶電的彈性小球A以速度v0沿水平軌道向右運動。軌道邊緣處鎖定一大小與A相同、質量為m、電荷量為-q的彈性小球B。兩球碰前瞬間解除對小球B的鎖定。已知該電場的場強為，重力加速度為g，兩球碰撞過程中電荷不發生轉移，空氣阻力不計。

（1）求兩球再次碰撞前相距的最大距離Δx，并分析說明為確保兩球能夠再次碰撞，水平軌道離地面的高度h應當滿足的條件；

（2）為縮短兩球再次碰撞的時間間隔，某同學設計了兩種方案，一種方案是僅增大彈性小球入的質量；另一種方案是僅增加該電場的場強。請你對這兩種方案的可行性進行分析評價；

（3）若在兩球第一次碰后瞬間，迅速撤去電場并同時在整個空間加一磁感應強度大小為、方向垂直紙面向外的勻強磁場，請在圖乙中定性畫出小球B此后的運動軌跡。

Answer 1

【答案】（1）（2），僅增加該電場的場強這一方案可行

（3）如圖所示：

【解析】本題考查物體的彈性碰撞及帶電粒子在電場中的運動，需運用動量守恒、能量守恒、運動的合成和分解等規律求解。

（1）設小球A、B第一次碰撞后的速度分別為v1和v2，兩球發生彈性碰撞，根據動量守恒與能量守恒定律有： 、

聯立解得，

A球不帶電，所以碰后做平拋運動； B球在豎直方向做自由落體運動，在水平方向做勻減速直線運動（類豎直上拋運動），所以兩球在豎直方向運動情況相同，始終保持在同一高度。設A、B在時間t內水平方向的位移分別為xA和xB，小球B的加速度大小為aBx，則

、

B球在水平方向上的加速度為

當小球B的水平分速度減小到與A的水平分速度相等即時，兩者相距最遠。

對B球有 解得

則

設兩球再次碰撞的時間間隔為Δt，兩小球A、B發生的位移分別為和，

再次相碰有 其中：

聯立以上各式可得：

則水平軌道離地面的高度

即

（2）設小球A、B的質量分別為m1和m2，設兩球首次碰后的速度大小分別為和，則有 、

聯立以上兩式可得：，即碰后兩球的速度之差與A、B小球質量無關。

設兩球再次碰撞的時間間隔為Δt，兩小球A、B發生的位移分別為和，小球B的加速度大小為，則

再次相碰有 其中：

聯立以上各式可得：

可見，為了縮短兩球再次碰撞的時間間隔，僅增大小球A的質量這一方案不行，僅增加該電場的場強這一方案可行。

（3）此時小球B除了受到重力外，還受到豎直向上的洛倫茲力，大小為

小球B此后的運動可以拆分成兩個分運動：一個是水平向右、速度大小為的勻速直線運動（對應的洛倫茲力與重力相平衡）；另一個是在豎直平面內速度大小為、沿逆時針方向的勻速圓周運動。其軌跡示意圖如圖所示。