Question

【題目】一個(gè)半徑為和，重量為，可繞軸轉(zhuǎn)動(dòng)的滑輪通過一個(gè)固定在墻上可轉(zhuǎn)動(dòng)的叉子支撐，其中，，如圖所示．繩索在滑輪較小半徑的軸肩上纏繞了一圈，繩索右端用重力加載，滑輪與墻之間以及滑輪與繩之間的摩擦因數(shù)相同，靜摩擦因數(shù)為，動(dòng)摩擦因數(shù)為．試問：

（1）如果要使重物懸起，左邊繩子在的情況下，至少要施加多大力？

（2）如果要使重物緩慢升起，左邊繩子在時(shí)需用多大為？

（3）在什么角度下，提升重物所需的拉力最��；其值為多大？

Answer 1

【答案】(1) (2) (3) 因此，在滑輪開始轉(zhuǎn)動(dòng)前，所需的最小拉力為;在滑輪進(jìn)入滑動(dòng)之后，最小拉力為

【解析】

(1)首先分析滑輪是繞著軸轉(zhuǎn)動(dòng)還是處于自鎖狀態(tài)．如果滑輪處于自鎖狀態(tài)，則一個(gè)任意大小的外力作用在滑輪上（在繩子不滑動(dòng)的情況下）都能使滑輪保持平衡．自鎖時(shí)滑輪不能順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，下圖畫出了滑輪的受力分析，根據(jù)平衡條件

， ①

， ②

， ③

④

聯(lián)立式①～④，可得 ⑤

由于

因此，只要當(dāng)時(shí)滑輪不會(huì)沿順時(shí)針方向轉(zhuǎn)動(dòng)．此時(shí)，拉力必須由繩索的摩擦方程來計(jì)算，即

⑥

（2）同樣的，首先判斷滑輪是否會(huì)由于自鎖而逆時(shí)針方向轉(zhuǎn)動(dòng)受到阻止．此時(shí)，應(yīng)將式①～③中前添加負(fù)號(hào)即可，解得

⑦

⑧

由于

且可見式⑧恒成立.

只要當(dāng)時(shí)滑輪逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)受到阻止．此時(shí)，要提起重物必須依靠繩索在滑輪上的滑動(dòng)

根據(jù)繩索的摩擦方程，在繩開始滑動(dòng)前，拉力為

⑨

繩索滑動(dòng)后，則為 ⑩

（3）為了提升重物，必有．此時(shí)，在任意的角度，根據(jù)平衡條件，有

，

，

，．

在滑輪沒有轉(zhuǎn)動(dòng)的情況下，即

聯(lián)立式及，可得

為了分析方便，令

當(dāng)角度為時(shí)并未超出滑輪的自鎖極限，由此有

由此，可解得

在情況下，滑輪可能轉(zhuǎn)動(dòng)并提起重物，因此需要確定滑輪發(fā)生轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的臨界角．此時(shí)，式應(yīng)取等號(hào)，并聯(lián)立式⑩和式求得臨界角，即

當(dāng)時(shí)，滑輪轉(zhuǎn)動(dòng)并提起重物

為了求繩索拉力的最小值，根據(jù)式可知

考慮到，當(dāng)時(shí)，取到最大值．于是，有

因此，在滑輪開始轉(zhuǎn)動(dòng)前，為克服滑輪與墻之間的靜摩擦力，所需的最小拉力為

在滑輪進(jìn)入滑動(dòng)之后，為克服滑動(dòng)摩擦力所需的最小拉力為

下面，可以驗(yàn)證，滑輪轉(zhuǎn)動(dòng)比滑輪自鎖時(shí)提取重物所需的拉力要小，當(dāng)滑輪自鎖時(shí)，提升重物只能依靠繩索在滑輪軸肩上的滑動(dòng)來實(shí)現(xiàn).

當(dāng)滑輪自鎖時(shí)，繩索滑動(dòng)前，繩索的拉力根據(jù)式⑩，有

．

當(dāng)滑輪自鎖時(shí)，繩索滑動(dòng)后，繩索拉力根據(jù)式，有

顯然，式與式就是所要求的最小拉力