Question

如圖所示，在直角坐標系xOy決定的平面內，有兩個同心圓，外側圓半徑為R₁，內側圓半徑為R₂，圓心為O．兩圓之間的圓環內有磁感應強度為B的勻強磁場，磁場方向垂直于紙面指向紙內．在圓心O處有一質子源，沿y軸負方向發射質子流，質子流中質子的速度范圍為0～v．結果有的質子從內側圓離開磁場，有的質子從外側圓離開磁場．已知質子帶電量為e，質量為m，不考慮質子通過磁場后再進入磁場的情況．
（1）求所有質子通過的內側圓的孤長；
（2）質子在磁場中運動的最長時間．

Answer 1

分析：該題是屬于有邊界磁場的問題，解決此題，首先要根據題意畫出質子的軌跡圖，確定軌跡與外側圓相切時，軌跡的弧長最長，根據相關的數學知識即可求出軌跡弧長的最大值．由帶電粒子在磁場中做勻速圓周運動的周期公式T=

2πm

qB

可知，周期與運動半徑及速度沒有關系，運動時間與軌跡所對應的圓心角有關，所以只要求出最大的圓心角，也就可以求出在磁場中運動的最長時間了．

解答：解：（1）由題意可知，軌跡圓與外側圓相切時，對應的質子離開內側圓的弧長最長，設圓半徑為r，如圖所示，由幾何關系可得：
r2+

R

2 2

=(R1-r)2
tanθ=

r

R2

聯立以上兩式解得：
θ=arctan(

R 2 1 - R 2 2

2R1R2

)
所以，所有質子通過的內側圓的弧長：
L=2θ?R₂
∴L=2R2arctan(

R 2 1 - R 2 2

2R1R2

)
（2）質子運動周期：
T=

2πm

eB

如圖所示，質子從內側圓離開對應的最大圓心角為：
α=2π-（π-2θ）=π+2θ
所以，質子從內側圓離開的質子在磁場中運動的最長時間為：
tmax=T?

α

2π

=m

π+2arctan( R 2 1 - R 2 2 2R1R2 )

eB

．
從外側圓離開的質子速度更大，弧長更短，所以在磁場中運動的時間比t_max小，t_max即為質子在磁場中運動的最長時間．
答：（1）求所有質子通過的內側圓的孤長為2R2arctan(

R 2 1 - R 2 2

2R1R2

)．
（2）質子在磁場中運動的最長時間為m

π+2arctan( R 2 1 - R 2 2 2R1R2 )

eB

．

點評：該題考察了帶電粒子在磁場中運動的臨界問題，可分為：粒子運動范圍的空間臨界問題；磁場所占據范圍的空間臨界問題，運動電荷相遇的時空臨界問題等．審題時應注意恰好，最大、最多、至少等關鍵字．
解決此類問題，找圓心、畫軌跡是解題的基礎．帶電粒子垂直于磁場進入一勻強磁場后在洛倫茲力作用下必作勻速圓周運動，抓住運動中的任兩點處的速度，分別作出各速度的垂線，則二垂線的交點必為圓心；或者用垂徑定理及一處速度的垂線也可找出圓心；再利用數學知識求出圓周運動的半徑及粒子經過的圓心角從而解答物理問題．