Question

如圖所示，在直角坐標xOy平面y軸左側（含y軸）有一沿y軸負向的勻強電場，一質量為m，電量為q的帶正電粒子從x軸上P處以速度v₀沿x軸正向進入電場，從y軸上Q點離開電場時速度方向與y軸負向夾角θ=30°，Q點坐標為（0，-d），在y軸右側有一與坐標平面垂直的有界勻強磁場區域（圖中未畫出），磁場磁感應強度大小B=

mv0

qd

，粒子能從坐標原點O沿x軸負向再進入電場．不計粒子重力，求：
（1）電場強度大小E；
（2）如果有界勻強磁場區域為半圓形，求磁場區域的最小面積；
（3）粒子從P點運動到O點的總時間．

Answer 1

分析：（1）由粒子進入磁場速度為2v₀，由幾何關系可得角度關系．帶電粒子進入勻強電場后，受重力和電場力，由動能定理可得電場強度．
（2）由運動軌跡圖，可以找出磁場邊長的最小值，可得最小面積．
（3）進入磁場后在洛倫茲力作用下做圓周運動，由左手定則可以判定受力，進而確定其轉動方向，作圖可得運動軌跡，由運動軌跡的幾何關系可得圓心角，進而得到圓周運動的時間，QM段粒子做勻速運動可得此段的時間，相加得總時間．

解答：解：（1）設粒子從Q點離開電場時速度大小為v，由粒子在勻強電場中做類平拋運動得：
   v=2v₀
由動能定理得：qEd=

1

2

mv2-

1

2

m

v

2 0

解得：E=

3m v 2 0

2qd

（2）設粒子從N點進入、N點離開半圓形勻強磁場區域粒子在磁場中做勻速圓周運動半徑為r，圓心為O₁，如圖所示
由qvB=

mv2

r

解得：r=

mv

qB

=2d
若半圓形磁場區域的面積最小，則半圓形磁場區域的圓心為O₂，
可得半徑R=1.5r=2d   
半圓形磁場區域的最小面積S=

1

2

πR2=

9

2

πd2=4.5πd²   
（3）設粒子在勻強電場中運動時間為t₁，粒子從Q點離開電場時沿y軸負向速度大小為v_y，
有v_y=

3

v0，t₁=

2d

vy

解得：t₁=

2 3 d

3v0

      
設粒子在磁場中做勻速圓周運動時間為t₂，有t₂=

4πr

3v

=

4πd

3v0

    
粒子在QM、NO間做勻速直線運動時間分別為t₃、t₄，
由幾何關系可得QM距離

.

QM

=

4 3 d

3

，得：t₃=

. QM

v

=

2 3 d

3v0

    
NO間距離

.

NO

=

5 3 d

3

     得：t₄=

. NO

v

=

5 3 d

6v0

     
粒子從P點運動到O點的總時間為：
 t=t₁+t₂+t₃+t₄=

2 3 d

3v0

+

4πd

3v0

+

2 3 d

3v0

+

5 3 d

6v0

=

(13 3 +8π)d

6v0

   
答：
（1）電場強度大小E為

3m v 2 0

2qd

；
（2）如果有界勻強磁場區域為半圓形，磁場區域的最小面積為4.5πd²；
（3）粒子從P點運動到O點的總時間為

(13 3 +8π)d

6v0

．

點評：本題考查了帶電粒子在勻強電場中的類平拋運動，在磁場中的勻速圓周運動，對數學的幾何能力要求較高，關鍵畫出粒子的軌跡圖，結合牛頓第二定律以及向心力等知識進行求解．