Question

將氫原子中電子的運動看作是繞固定的氫核做勻速圓周運動，已知電子的電量為e，質量為m．
（1）若以相距氫核無窮遠處為零勢能參考位置，則電子運動的軌道半徑為r時，原子的能量E=E_k+E_p=-

ke2

2r

，其中k為靜電力恒量，試證明氫原子核在距核r處的電勢U_r=k

e

r

（2）在研究電子繞核運動的磁效應時，可將電子的運動等效為一個環形電流．現對一氫原子加上一外磁場，其磁感應強度大小為B，方向垂直電子的軌道平面，這時電子運動的等效電流用I₁表示，將外磁場反向，但磁感應強度大小為B，這時電子運動的等效電流用I₂表示，假設上述兩種情況下氫核的位置，電子運動的軌道平面及軌道半徑都不變，求外磁場反向前后電子運動的等效電流的差值，即|I₁-I₂|等于多少？

Answer 1

分析：（1）根據電子繞原子核的做勻速圓周運動可以求得電子的動能的大小，根據原子的能量E=E_k+E_p=-

ke2

2r

，可以求得電子具有的勢能的大小，從而可以求得電子具在距核r處的電勢．
（2）根據電流的公式，可以求得電子的等效的電流的大小，根據電流的表達式即可求得電流差值的絕對值．

解答：解：（1）電子繞核做勻速圓周運動有　　

ke2

r2

=m

v2

r

　　
電子的動能　E_k=

1

2

mv²　
原子的能量　E=E_k+E_p=-

ke2

2r

　
聯立求解得　氫原子核r處的電勢能
E_p=-

ke2

2r

-

ke2

2r

=-

ke2

r

　
又因為　U_r=

Ep

-e

　　
所以  　U_r=k

e

r

（2）設電子繞核運動的軌道半徑為r，運動的速度為v，等效電流　I=

e

T

=

ev

2πr

加磁場后，若設電子的運動速度為v₁，磁場反向后，電子的運動速率為v₂，
則有　　

ke2

r

+ev₁B=m

v 2 1

r

　　　　　
      

ke2

r

-ev₂B=m

v 2 2

r

　
聯立求解得　　v₁-v₂=

eBr

m

所以|I₁-I₂|=

2

2πr

|v₁-v₂|=

e2B

2πm

　 
答：（1）證明如上．
（2）外磁場反向前后電子運動的等效電流的差值，|I₁-I₂|等于

e2B

2πm

．

點評：在第一問中，關鍵是根據原子的能量E=E_k+E_p=-

ke2

2r

求出電子具有的電勢能的大小，在第二問中要會根據向心力的大小求出兩種情況下的等效電流的．