Question

如圖所示，水平線MN的上方區域是場強大小為E的勻強電場，其方向指向右上方向且與MN的夾角θ=45°，水平線MN的下方是有一定高度的磁感應強度為B的勻強磁場，其方向垂直紙面向外．一個不計重力的帶負電的粒子，從MN上的O點，以v₀的初速度沿電場方向射入勻強電場．已知粒子的電量為q，質量為m，求：
（1）要使粒子離開勻強電場后能夠再次返回勻強電場，勻強磁場的高度d至少為多少？
（2）若水平虛線MN下方的勻強磁場是足夠高，求粒子離開O點后第一次回到水平線MN進入磁場到第二次回到MN的過程，所用的時間t₁為多少？
（3）粒子第二次回到MN到第三次回到MN的過程，所用的時間t₂為多少？

Answer 1

分析：（1）分析帶電粒子的運動情況：粒子進入電場后，先做勻減速運動，再反向做勻加速運動，仍以大小為v₀的速度從O點第一次經過水平線MN進入磁場，如圖所示．在磁場中由洛倫茲力提供向心力則做勻速圓周運動，要使粒子離開勻強電場后能夠再次返回勻強電場，磁場中其軌跡最多到磁場下邊界相切，由牛頓第二定律求出磁場中軌跡半徑，由幾何關系求解勻強磁場的高度d的最小值．
（2）找出磁場中軌跡的圓心角，即可求解磁場中運動時間．
（3）粒子從C點運動到D點，做類平拋運動，運用運動的分解法，由運動學公式和牛頓第二定律求解時間t₂．

解答：解：（1）帶負電粒子進入電場后，先做勻減速運動，再反向做勻加速運動，仍以大小為v₀的速度從O點第一次經過水平線MN進入磁場，如圖所示．
使粒子能夠再次回到電場，磁場寬度至少滿足
 d=R+Rcosθ…①
R為粒子在磁場中做圓周運動的半徑，
由牛頓第二定律有
qv₀B=m

v 2 0

R

…②
解得勻強磁場原寬度d至少為：
 d=

(2+ 2 )mv0

2qB

…③
（2）粒子從電場中第一次經過水平線MN進入磁場做勻速圓周運動，設粒子在磁場中運動時間為t₁
  T=

2πm

qB

…④
 t₁=

3

4

T=

3πm

2qB

…⑤
（3）粒子從C點運動到D點，做類平拋運動，由幾何關系可知，位移CD方向與粒子在C點的速度方向夾角α=45°
x=v₀t₂…⑥
y=

qE

2m

t

2 2

…⑦
tan45°=

y

x

…⑧
解得 t2=

2mv0

qE

…⑨
答：
（1）要使粒子離開勻強電場后能夠再次返回勻強電場，勻強磁場的高度d至少為

(2+ 2 )mv0

2qB

．
（2）粒子離開O點后第一次回到水平線MN進入磁場到第二次回到MN的過程，所用的時間t₁為

3πm

2qB

．
（3）粒子第二次回到MN到第三次回到MN的過程，所用的時間t₂為

2mv0

qE

．

點評：本題是帶電粒子在復合場中運動的問題，分析粒子的運動情況是關鍵，要挖掘隱含的臨界條件，運用幾何知識求解空間的距離．