Question

【題目】如圖所示，勻強磁場的磁感應強度為B，方向垂直紙面向里，MN為其左邊界．磁場中放置一半徑為R的圓柱形金屬圓筒，圓心O到MN的距離OO1=2R，金屬圓筒軸線與磁場平行．金屬圓筒用導線通過一個電阻r0接地，最初金屬圓筒不帶電．現有一電子槍對準金屬圓桶中心O射出電子束，電子束從靜止開始經過加速電場后垂直于左邊界MN向右射入磁場區，已知電子質量為m，電量為e．電子重力忽略不計．求：

（1）最初金屬圓筒不帶電時，則
a．當加速電壓為U時，電子進入磁場時的速度大小；
b．加速電壓滿足什么條件時，電子能夠打到圓筒上；
（2）若電子束以初速度v0進入磁場，電子都能打到金屬圓筒上（不會引起金屬圓筒內原子能級躍遷），則當金屬圓筒上電量達到相對穩定時，測量得到通過電阻r0的電流恒為I，忽略運動電子間的相互作用和金屬筒的電阻，求此時金屬圓筒的電勢φ和金屬圓筒的發熱功率P．（取大地電勢為零）

Answer 1

【答案】
（1）

解：a．設電子經過電場加速后的速度為v1，由動能定理，有：

解得：

b．令電子恰好打在圓筒上時，加速電壓為U0，設電子進入磁場時速度為v2，軌道半徑為r，做出電子的軌跡如圖所示，O2為軌道的圓心．

由幾何關系得：

r2+（2R）2=（r+R）2

解得：

磁偏轉過程，根據牛頓第二定律，有：

直線加速過程，根據動能定理，有：

解得：

所以當 時，電子能夠打到圓筒上

（2）

解：當圓筒上的電量達到相對穩定時，圓筒上的電荷不再增加，此時通過r0的電流方向向上．

根據歐姆定律，圓筒跟地面間的電壓大小為：

U1=Ir0

由0﹣φ=U1可得：

φ=﹣Ir0

單位時間內到達圓筒的電子數：

故單位時間內到達圓筒上的電子的總能量：

單位時間內電阻消耗的能量：

所以圓筒的發熱功率：

P=E﹣Er= ﹣I2r0

【解析】（1）a．根據動能定理對直線加速過程列式求解即可；
b．先作出電子恰好打在圓筒上的臨界軌跡，結合幾何關系得到軌道半徑；然后根據牛頓第二定律并結合洛倫茲力提供向心力列式；最后聯立求解即可；（2）先根據歐姆定律求解電阻r0的電勢差，再根據電勢差的定義求解金屬圓筒的電勢；
根據電荷守恒定律求解單位時間內到達圓筒上的電子數目，得到電子提供的總能量，根據焦耳定律求解電阻R0的單位時間熱量，最后根據能量守恒定律求解金屬圓筒的發熱功率P．