Question

如圖所示，水平軌道AB與位于豎直面內半徑為R的半圓形光滑軌道BCD相連，半圓形軌道的直徑BD與AB垂直，水平軌道上有一質量m=1.0kg可看作質點的小滑塊，滑塊與水平 軌道間的動摩擦因數μ=0.5．現使滑塊從水平軌道上某點靜止起出發，在水平向右的恒力F作用下運動，到達水平軌道的末端B點時撤去外力F，小滑塊繼續沿半圓形軌道運動；恰好能通過軌道最高點D，滑塊脫離半圓形軌道后又剛好落到其出發點，g取10m/s²．
（1）當R=0.90m時，求其出發點到B點之間的距離x及滑塊經過B點進入圓形軌道時對軌道的壓力大小；
（2）小明同學認為：若半圓形光滑軌道BCD的半徑R取不同數值，仍要使物體恰好能通過D點飛離圓軌道并剛好落回其對應的出發點，恒定外力F的大小也應隨之改變．你是否同意他的觀點，若同意，求出F與R的關系式；若不同意，請通過計算說明．

Answer 1

分析：（1）物體恰好通過最高點，意味著在最高點是軌道對滑塊的壓力為0，即由重力恰好提供向心力，這樣可以求出滑塊經過D點的速度v_D．滑塊從D點離開軌道后做平拋運動，由平拋運動的規律求x．在從B到D的過程中，質點僅受重力和軌道的支持力，而軌道的支持力不做功，共可以根據動能定理求出物體在B的速度，在B點根據支持力和重力的合力提供向心力得出物體在B點所受的支持力，即得到滑塊對軌道的壓力．
（2）滑塊從出到D的整個過程中，運用動能定理和臨界條件得到F的表達式，再進行說明．

解答：解：（1）小滑塊恰好通過最高點，則有
   mg=m

v 2 D

R

解得，v_D=

gR

滑塊從D點離開軌道后做平拋運動，則
  2R=

1

2

gt2
  x=v_Dt
求得x=2R=1.8m
在從B到D的過程中，由動能定理得：
-2mgR=

1

2

m

v

2 D

-

1

2

m

v

2 B

對B點：F_N-mg=m

v 2 B

R

聯立解得，F_N=60N
由牛頓第三定律知，滑塊對軌道的壓力為60N．
（2）不同意．
滑塊由出發到D點的過程中，由動能定理得
   Fx-μmgx-2mgR=

1

2

m

v

2 D

又x=2R，v_D=

gR

，
代入解得，F=1.75mg，為一與R無關的定值．
答：
（1）當R=0.90m時，滑塊出發點到B點之間的距離x是1.8m．滑塊經過B點進入圓形軌道時對軌道的壓力大小為60N；
（2）不同意．F=1.75mg，為一與R無關的定值．

點評：物體恰好通過D點是本題的突破口，這一點要注意把握；題目要求滑塊經過B點進入圓形軌道時對軌道的壓力大小而根據物體在B點的運動情況所求的是軌道對物體的支持力，故運動別忘記“由牛頓第三定律知滑塊在B點對軌道的壓力為60 N”．