Question

如圖11所示，質(zhì)量為m的小球，由長為l的細(xì)線系住，細(xì)線的另一端固定在A點(diǎn)，AB是過A的豎直線，E為AB上的一點(diǎn)，且AE=0.5l，過E作水平線EF，在EF上釘鐵釘D，若線能承受的最大拉力是9mg，現(xiàn)將小球拉直水平，然后由靜止釋放，若小球能繞釘子在豎直面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，不計(jì)線與釘子碰撞時(shí)的能量損失．求釘子位置在水平線上的取值范圍．

Answer 1

l≤x≤l

這是一個(gè)圓周運(yùn)動(dòng)與機(jī)械能兩部分知識綜合應(yīng)用的典型問題．題中涉及兩個(gè)臨界條件：一是線承受的最大拉力不大于9mg；另一個(gè)是在圓周運(yùn)動(dòng)的最高點(diǎn)的瞬時(shí)速度必須不小于（r是做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑）．設(shè)在D點(diǎn)繩剛好承受最大拉力，設(shè)DE=x₁，則：AD=
懸線碰到釘子后，繞釘做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為：r₁=l－AD= l－……①（1分）
當(dāng)小球落到D點(diǎn)正下方時(shí)，繩受到的最大拉力為F，此時(shí)小球的速度v，由牛頓第二定律有：

F－mg=…………………………………………②     （1分）
結(jié)合F≤9mg可得：≤8mg……………………③    （1分）
由機(jī)械能守恒定律得：mg (+r₁)=mv₁²（2分）
即：v²=2g(+r₁) ………………………………④       （1分）
由①②③式聯(lián)立解得：x₁≤l…………………⑤     （1分）
隨著x的減小，即釘子左移，繞釘子做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑越來越大．轉(zhuǎn)至最高點(diǎn)的臨界速度也越來越大，但根據(jù)機(jī)械能守恒定律，半徑r越大，轉(zhuǎn)至最高點(diǎn)的瞬時(shí)速度越小，當(dāng)這個(gè)瞬時(shí)速度小于臨界速度時(shí)，小球就不能到達(dá)圓的最高點(diǎn)了．
設(shè)釘子在G點(diǎn)小球剛能繞釘做圓周運(yùn)動(dòng)到達(dá)圓的最高點(diǎn)，設(shè)EG=x₂，如圖，則：AG=
r₂=l－AG= l－…………………………⑥       （1分）
在最高點(diǎn)：mg≤……………………………⑦       （1分）
由機(jī)械能守恒定律得：mg (r₂)=mv₂²…………⑧               （1分）
由④⑤⑥聯(lián)立得：x₂≥l…………………………⑨                （1分）
在水平線上EF上釘子的位置范圍是：l≤x≤l         （1分）