Question

【題目】打井施工時要將一質量可忽略不計的堅硬底座A送到井底，由于A與井壁間摩擦力很大，工程人員采用了如圖所示的裝置．圖中重錘B質量為m，下端連有一勁度系數為k的輕彈簧，工程人員先將B放置在A上，觀察到A不動；然后在B上再逐漸疊加壓塊，當壓塊質量達到m時，觀察到A開始緩慢下沉時移去壓塊．將B提升至彈簧下端距井口為H0處，自由釋放B，A被撞擊后下沉的最大距離為h1，以后每次都從距井口H0處自由釋放．已知重力加速度為g，不計空氣阻力，彈簧始終在彈性限度內．

（1）求下沉時A與井壁間的摩擦力大小f和彈簧的最大形變量ΔL；

（2）求撞擊下沉時A的加速度大小a和彈簧彈性勢能Ep；

（3）若第n次撞擊后，底座A恰能到達井底，求井深H．

Answer 1

【答案】（1） （2） （3）

【解析】試題分析：（1）A開始緩慢下沉時，受力平衡，根據平衡條件求解f，底座質量不計，所以合力為零，結合胡克定律求解；
（2）撞擊后AB一起減速下沉，對B，根據牛頓第二定律以及功能關系求解；
（3）A第二次下沉，由功能關系求出下降的距離與第一次下降距離的關系，同理求出第三次下降的距離與第一次下降距離的關系，進而求出第n次下沉過程中向下滑動的距離，再結合數學知識求解．

（1）A開始緩慢下沉時

底座質量不計，所以合力為零，所以始終有

解得

（2）撞擊后AB一起減速下沉，對B：

解得

A第一次下沉，由功能關系

解得

（3）A第二次下沉，由功能關系

又

解得

A第三次下沉，由功能關系

解得

同理A第n次下沉過程中向下滑動的距離

所以井底深度

（第2,3，……次撞擊功能關系式中沒有考慮△L不給分）