Question

【題目】（1）開普勒行星運(yùn)動第三定律指出：行星繞太陽運(yùn)動的橢圓軌道的半長軸a的三次方與它的公轉(zhuǎn)周期T的二次方成正比，即 k是一個(gè)對所有行星都相同的常量．將行星繞太陽的運(yùn)動按圓周運(yùn)動處理，請你推導(dǎo)出太陽系中該常量k的表達(dá)式．已知引力常量為G，太陽的質(zhì)量為M太．

（2）開普勒定律不僅適用于太陽系，它對一切具有中心天體的引力系統(tǒng)（如地月系統(tǒng)）都成立．經(jīng)測定月地距離為，月球繞地球運(yùn)動的周期為，試計(jì)算地球的質(zhì)量M地．（，結(jié)果保留一位有效數(shù)字）

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】(1)將行星繞太陽的運(yùn)動按圓周運(yùn)動處理，

根據(jù)太陽對行星的萬有引力充當(dāng)行星做圓周運(yùn)動所需向心力有

于是有，即

(2)在地月系統(tǒng)中，設(shè)月球繞地球的軌道半徑為，周期為，

則由得

代入數(shù)據(jù)解得：