Question

如圖所示，是游樂場翻滾過山車示意圖，斜面軌道AC，彎曲、水平軌道CDE和半徑R=7.5m的豎直圓形軌道平滑連接．質量m=100kg的實驗小車，從距水平面H=20m高處的A點靜止釋放，通過最低點C后沿圓形軌道運動一周后進入彎曲、水平軌道CDE．重力加速度g=10m/s²，AC與水平面的傾角θ=37°，小車與AC的摩擦因數μ=0.3，其余不計摩擦和阻力．（sin37°=0.6，cos37°=0.8）求：
（1）小車從A點靜止釋放到達圓形軌道最低點C時，軌道對小車支持力的大小
（2）計算說明小車能不能通過圓形軌道最高點B；
（3）為使小車在運動中不脫離圓形軌道，小車初始下落高度H值的范圍．

Answer 1

分析：（1）由動能定理求出小車到達C點時的速度，然后由牛頓第二定律求出軌道對C的支持力；
（2）小車經過B點時軌道對它的支持力恰好為零時的速度是小車經過最高點的最小速度，由牛頓第二定律求出該速度，然后由動能定理求出小車到達B點的速度，然后判斷小車能否經過B點；
（3）由動能定理求出小車釋放的高度．

解答：解：（1）由動能定理得：mgH-μmgcos37°?

H

sin37°

=

1

2

mv_C²-0，
由牛頓第二定律可得：F-mg=m

v 2 C

R

，
聯立解得：F=1320N；
（2）小車恰好通過B點時，由牛頓第二定律得：
mg=m

v 2 Bmin

R

，
解得：v_Bmin=

gR

=

10×7.5

=5

3

m/s，
從A點到B點，mgH-μmgcos37°?

H

sin37°

-mg?2R＜0，
則小車不能到達B點；
（3）設小車恰好到達B點時，釋放點的高度為H′，
則mgH′-μmgcos37°?

H′

sin37°

-mg?2R=

1

2

mv_Bmin²-0，
解得：H′=87.5m；
小車恰好到達與圓心同高位置的釋放點高度設為h，
則由動能定理得：mgh-μmgcos37°?

h

sin37°

-mgR=0-0，
解得：h=12.5m；
則小車不脫離圓形軌道需要滿足的條件是：H≥87.5m或0＜H＜12.5m；
答：（1）軌道對小車支持力的大小為1320N；
（2）小車不能通過圓形軌道最高點B；
（3）為使小車在運動中不脫離圓形軌道，小車初始下落高度H值的范圍是：H≥87.5m或0＜H＜12.5m．

點評：分析清楚小車的運動過程，應用動能定理、牛頓第二定律即可正確解題．