Question

（2009?黃岡模擬）如圖為回旋加速器示意圖，其中置于高真空中的金屬D形盒的半徑為R，兩盒間距為d，在左側D形盒圓心處放有粒子源S，勻強磁場的磁感應強度為B，方向如圖所示．質(zhì)子質(zhì)量為m，電荷量為q．設質(zhì)子從粒子源S進入加速電場時的初速度不計，加速質(zhì)子時的電壓恒為U，質(zhì)子在電場中運動時，不考慮磁場的影響．求：
（1）質(zhì)子能達到的最大速度；
（2）通過計算說明當R＞＞d時，質(zhì)子在電場中加速的總時間相對于在D形盒中回旋的總時間可忽略不計；
（3）若D形盒內(nèi)存在的磁場磁感應強度周期遞增，質(zhì)子便可在電場中加速，而繞行半徑不變．為使質(zhì)子繞行半徑恒為R₀，求：質(zhì)子第i次進入磁場時磁感應強度B_i及質(zhì)子從開始運動到第i次進入磁場時所用的總時間t₀（i＞1，不計質(zhì)子在電場中加速的時間）．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)洛倫茲力提供向心力求出軌道半徑的大小，當半徑等于D形盒的半徑時，速度最大．
（2）粒子在電場中做勻加速直線運動，結合勻變速直線運動的平均速度公式求出在電場中加速的時間，結合粒子在磁場中運行的周期，求出粒子在磁場中的運行時間，通過比值的方法證明當R＞＞d時，質(zhì)子在電場中加速的總時間相對于在D形盒中回旋的總時間可忽略不計；
（3）根據(jù)動能定理求出粒子第i次進入磁場時的速度，結合半徑公式求出磁感應強度的通項表達式，通過粒子在磁場中做勻速圓周運動，求出質(zhì)子第i次在磁場中的繞行時間，從而根據(jù)數(shù)學方法求出粒子從開始運動到第i次進入磁場時所用的總時間．

解答：解：（1）質(zhì)子在磁場中作圓周運動，根據(jù)qvB=m

v2

r

得，半徑r=

mv

qB

，①
當r=R時有最大速度vm=

qBR

m

②
（2）設質(zhì)子在電場中經(jīng)n次加速后，速度達到v_m，加速的時間為t₁，從電場對質(zhì)子速率改變的角度可將質(zhì)子在電場中的運動等效為勻加速直線運動，有：
質(zhì)子在電場中的平均速度為

.

v

=

0+vm

2

，③
可得：t1=

2nd

vm

④
設質(zhì)子在磁場中作圓周運動的周期為T，運動時間為t₂，有：T=

2πm

qB

⑤
t2=

n

2

T⑥
由②-⑥可得：

t1

t2

=

2d

πR

即當R＞＞d時，t₁＜＜t₂，故在計算質(zhì)子在D型盒中的總時間可忽略電場中的運動時間．
（3）設質(zhì)子經(jīng)i次加速后速度為v_i，由動能定理得，iqU=

1

2

m

v

2 i

，⑦
質(zhì)子第i次進入磁場時，由①、⑦得            Bi=

1

R0

2imU q

質(zhì)子第i次在磁場中的繞行時間           ti=

πR0

vi

=πR0

m 2iqU

⑧
由⑧式可得質(zhì)子從開始運動到第i次進入磁場時所用的總時間：t0=t1+t2+t3+…+ti-1=πR0

m 2qU

(1+

1

2

+

1

3

+…+

1

i-1

)（i＞1）
答：（1）質(zhì)子能達到的最大速度為vm=

qBR

m

．
（2）證明計算過程如上所述．
（3）質(zhì)子第i次進入磁場時磁感應強度Bi=

1

R0

2imU q

，質(zhì)子從開始運動到第i次進入磁場時所用的總時間t0=πR0

m 2qU

(1+

1

2

+

1

3

+…+

1

i-1

)．

點評：解決本題的關鍵知道粒子在電場中加速，做勻加速直線運動，在磁場中偏轉，做勻速圓周運動．對于第（3）問，對數(shù)學能力的要求較高，抓住半徑不變，求出磁感應強度以及運動時間的通項表達式．