Question

渦流制動是一種利用電磁感應原理工作的新型制動方式，它的基本原理如圖甲所示。水平面上固定一塊鋁板，當一豎直方向的條形磁鐵在鋁板上方幾毫米高度上水平經過時，鋁板內感應出的渦流會對磁鐵的運動產生阻礙作用。

渦流制動是磁懸浮列車在高速運行時進行制動的一種方式。某研究所制成如圖乙所示的車和軌道模型來定量模擬磁懸浮列車的渦流制動過程。車廂下端安裝有電磁鐵系統，能在長為，寬的矩形區域內產生豎直方向的勻強磁場，磁感應強度可隨車速的減小而自動增大（由車內速度傳感器控制），但最大不超過，將鋁板簡化為長大于，寬也為的單匝矩形線圈，間隔鋪設在軌道正中央，其間隔也為，每個線圈的電阻為，導線粗細忽略不計。在某次實驗中，模型車速度為時，啟動電磁鐵系統開始制動，車立即以加速度做勻減速直線運動，當磁感應強度增加到時就保持不變，直到模型車停止運動。已知模型車的總質量為，空氣阻力不計。不考慮磁感應強度的變化引起的電磁感應現象以及線圈激發的磁場對電磁鐵產生磁場的影響。

（1）電磁鐵的磁感應強度達到最大時，模型車的速度為多大？

（2）模型車的制動距離為多大？

（3）為了節約能源，將電磁鐵換成若干個并在一起的永磁鐵組，兩個相鄰的磁鐵磁極的極性相反，且將線圈改為連續鋪放，如圖丙所示，已知模型車質量減為，永磁鐵激發的磁感應強度恒為，每個線圈匝數為，電阻為，相鄰線圈緊密接觸但彼此絕緣。模型車仍以的初速度開始減速，為保證制動距離不大于，至少安裝幾個永磁鐵？

Answer 1

（1）假設電磁鐵的磁感應強度達到最大時，模型車的速度為

則

                                                                  ①（2分）

                                                                        ②（1分）

                                                                  ③（2分）

                                                                     ④（1分）

由①②③④式并代入數據得

                                                                    ⑤（1分）

（2）

                                                          ⑥（1分）

由第（1）問的方法同理得到磁感應強度達到最大以后任意速度時，安培力的大小為

                                                                  ⑦（1分）

對速度后模型車的減速過程用動量定理得

                                                                  ⑧（2分）

                                                                ⑨（1分）

                                                                   ⑩（1分）

由⑥⑦⑧⑨⑩并代入數據得

                                                               （1分）

（3）假設需要個永磁鐵

當模型車的速度為時，每個線圈中產生的感應電動勢為

                                                             （2分）

每個線圈中的感應電流為

每個磁鐵受到的阻力為

                                                            （1分）

個磁鐵受到的阻力為

                                                  （1分）

由第（2）問同理可得

                                                   （1分）

由并代入已知得

即至少需要個永磁鐵                                                        （1分）