Question

如圖，在坐標系xoy的第一、第三象限內存在相同的勻強磁場，磁場方向垂直于xoy面向里；第四象限內有沿y軸正方向的勻強電場，電場強度大小為E．一質量為m、帶電量為+q的粒子自y軸的P點沿x軸正方向射入第四象限，經x軸上的Q點進入第一象限，隨即撤去電場，以后僅保留磁場．已知OP=d，OQ=2d，不計粒子重力．
（1）求粒子過Q點時速度的大小和方向．
（2）若磁感應強度的大小為一定值B₀，粒子將以垂直y軸的方向進入第二象限，求B₀；
（3）若磁感應強度的大小為另一確定值，經過一段時間后粒子將再次經過Q點，且速度與第一次過Q點時相同，求該粒子相鄰兩次經過Q點所用的時間．

Answer 1

（1）設粒子在電場中運動的時間為t₀，加速度的大小為a，粒子的初速度為v₀，過Q點時速度的大小為v，沿y軸方向分速度的大小為v_y，速度與x軸正方向間的夾角為θ，由牛頓第二定律得qE=ma ①
由運動學公式得d=

1

2

a

t

20

②
2d=v₀t₀ ③
v_y=at₀ ④
v=

v 20 + v 2y

⑤
tanθ=

vy

v0

⑥
聯立①②③④⑤⑥式得v=2

qEd m

⑦
θ=45° ⑧
（2）設粒子做圓周運動的半徑為R₁，粒子在第一象限的運動軌跡如圖，O₁為圓心，由幾何關系可知△O₁OQ
為等腰直角三角形，得R1=2

2

d ⑨
由牛頓第二定律得qvB0=m

v2

R1

⑩
聯立⑦⑨⑩式得B0=

mE 2qd

（11）
（3）設粒子做圓周運動的半徑為R₂，由幾何分析（粒子運動的軌跡如圖，O₂、O'₂是粒子做圓周運動的圓心，Q、F、G、H是軌跡與兩坐標軸的交點，連接O₂、O'₂，由幾何關系知，O₂FGO'₂和O₂QHO'₂均為矩形，進而知FQ、GH均為直徑，QFGH也是矩形，又FH⊥GQ，可知QFGH是正方形，△QOG為等腰直角三角形）可知，粒子在第一、第三象限的軌跡均為半圓，得2R2=2

2

d （12）
粒子在第二、第四象限的軌跡為長度相等的線段，得FG=HQ=2R₂ （13）
設粒子相鄰兩次經過Q點所用的時間為t，則有t=

FG+HQ+2πR2

v

（14）
聯立⑦（12）（13）（14）得
t=(2+π)

2md qE

答：（1）粒子過Q點時速度的大小為v=2

qEd m

．
（2）B₀的大小為B0=

mE 2qd

．
（3）該粒子相鄰兩次經過Q點所用的時間t=(2+π)

2md qE

．