Question

如圖，一半徑為R的光滑絕緣半球面開口向下，固定在水平面上．整個(gè)空間存在勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度方向豎直向下．一電荷量為q（q＞0）、質(zhì)量為m的小球P在球面上做水平的勻速圓周運(yùn)動，圓心為O′．球心O到該圓周上任一點(diǎn)的連線與豎直方向的夾角為θ（0＜θ＜

π

2

)．為了使小球能夠在該圓周上運(yùn)動，求磁感應(yīng)強(qiáng)度大小的最小值及小球P相應(yīng)的速率．重力加速度為g．

Answer 1

據(jù)題意，小球P在球面上做水平的勻速圓周運(yùn)動，該圓周的圓心為O′．P受到向下的重力mg、球面對它沿OP方向的支持力N和磁場的洛侖茲力：f=qvB…①
式中v為小球運(yùn)動的速率．洛侖茲力f的方向指向O′．根據(jù)牛頓第二定律：Ncosθ-mg=0…②
f-Nsinθ=m

v2

Rsinθ

…③
由①②③式得：v2-

qBRsinθ

m

v+

qRsin2θ

cosθ

=0…④
由于v是實(shí)數(shù)，必須滿足：△=(

qBRsinθ

m

)2-

4gRsin2θ

cosθ

≥0…⑤
由此得：B≥

2m

q

g Rcosθ

…⑥
可見，為了使小球能夠在該圓周上運(yùn)動，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小的最小值為：Bmin=

2m

q

g Rcosθ

…⑦
此時(shí)，帶電小球做勻速圓周運(yùn)動的速率為：v=

qBminRsinθ

2m

…⑧
由⑦⑧式得：v=

gR cosθ

sinθ…⑨
答：磁感應(yīng)強(qiáng)度大小的最小值

2m

q

g Rcosθ

，小球P相應(yīng)的速率

gR cosθ

sinθ．