Question

“嫦娥一號”衛星是在繞月球的極地軌道上運動，能探測到整個月球表面的情況．已知衛星在繞月極地軌道上做圓周運動時，距月球表面高為H₁，繞行的周期為T₁；月球繞地球公轉的周期為T，半徑為R；地球半徑為R₀，月球半徑為R₁，忽略地球及太陽引力對繞月衛星的影響．試解答下列問題：
（1）衛星繞月球運動時的速度大小；
（2）月球表面的重力加速度；
（3）月球與地球質量比．

Answer 1

分析：1、衛星繞月球做勻速圓周運動，根據線速度與周期的關系得v衛=

2πr

T1

，代入數據化簡即可．
2、月球對衛星的萬有引力提供衛星繞月球做勻速圓周運動的向心力G

M月m衛

(R1+H1)2

=m衛(R1+H1)(

2π

T1

)2，由于在月球表面的物體受到的重力等于萬有引力G

M月m

R12

=mg月，聯立二式可解得月球表面的重力加速度．
3、月球繞地球公轉時由地球對月球的萬有引力提供向心力，故G

M地M月

R2

=M月R(

2π

T

)2．同理探月衛星繞月有：G

M月M衛

(R1+H1)2

=M衛(R1+H1)(

2π

T1

)2，聯立二式可計算月球與地球的質量之比．

解答：解：（1）衛星繞月球做勻速圓周運動，根據線速度與周期的關系得v衛=

2πr

T1

=

2π(R1+H1)

T1

（2）衛星繞月球做勻速圓周運動，月球對衛星的萬有引力提供向心力G

M月m衛

(R1+H1)2

=m衛(R1+H1)(

2π

T1

)2
在月球表面的物體受到的重力等于萬有引力G

M月m

R12

=mg月
聯立解得：g_月=

4π2(R1+H1)3

R12T12

（3）月球繞地球公轉時由地球對月球的萬有引力提供向心力，故
G

M地M月

R2

=M月R(

2π

T

)2
同理探月衛星繞月有：
G

M月M衛

(R1+H1)2

=M衛(R1+H1)(

2π

T1

)2
聯立解得

M月

M地

=(

R1+H1

R

)3(

T

T1

)2
答：（1）衛星繞月球運動時的速度大小為

2π(R1+H1)

T1

；
（2）月球表面的重力加速度為

4π2(R1+H1)3

R12T12

；
（3）月球與地球質量比為(

R1+H1

R

)3(

T

T1

)2．

點評：本題要求能熟練應用萬有引力公式、牛頓第二定律，特別要掌握兩個關系：環繞天體繞中心天體做圓周運動的時，萬有引力提供向心力；星球表面的物體受到的重力等于萬有引力．