Question

如圖所示，Q為一個原來靜止在光滑水平面上的物體，質量為M，它帶有一個凹形的不光滑軌道，軌道的ab段是水平的，bc段是半徑為R的圓弧，位于豎直平面內。P是另一個小物體，質量為m，它與軌道間的動摩擦因數為μ。物體P以沿水平方向的初速度v₀沖上Q的軌道，已知它恰好能到達軌道頂端c點，后又沿軌道滑下，并最終在a點停止滑動，然后與Q一起在水平面上運動。

（1）分別求出P從a點滑到c點和從c點滑回a點的過程中各有多少機械能轉化為內能？
（2）P位于軌道的哪個位置時，Q的速度達到最大？

Answer 1

（1）mgR；（2）θ="arc" tanμ

（1）當P在Q上滑行時，水平方向系統受合外力為零，故在水平方向系統動量守恒。當P到達c點時，P和Q具有共同的水平速度V。根據動量守恒定律，
mv₀ =" (m+M)" V                （1）
P由a點滑到c點的過程中，系統損失的機械能轉化為內能，則根據功能關系
 （2）
由（1）、（2）兩式得
                             ④
當P到達c點時，P和Q仍具有共同的水平速度V。所以在P由c點滑回到a點的過程中，有                
即                        Q_下=mgR              ②
(2)在P從a滑到c的過程中，P對Q的作用力都偏向右側，因此Q受到向右的作用力，Q將一直加速，到達c點時P、Q間無相互作用；從c滑到b的過程中，P的受力分析示意圖如右圖所示，其中支持力N偏向左側，摩擦力f偏向右側。這個過程的前一階段，P受到的合外力的水平分力向左，則Q受到合力的水平分力向右，Q將繼續加速，當P在水平方向受力平衡的時刻，就是Q速度最大的時刻。                   ④
此時滿足                    f cosθ=" N" sinθ
并且                         f = μN
因此得                       tanθ=μ
即P所在位置的半徑與豎直方向的夾角為     θ="arc" tanμ。                       ④