Question

【題目】如圖所示，一對足夠大的金屬板M、N正對且豎直放置，兩極板分別接在大小可調的電源兩端，N極板右側分布有勻強磁場，磁場大小為B，方向垂直紙面向里，磁場區域放有一半徑為R的圓柱體，圓柱體的軸線與磁場方向平行，圓柱體的橫截面圓的圓心O到右極板N的距離為，在貼近左極板M處有足夠大的平行且帶負電等離子束，在電場力的作用下無初速沿垂直于N極板（經過特殊處理，離子能透過）射入磁場區域，已知所有離子的質量均為m，電量為q，忽略離子的重力和離子間的相互作用力．求：

（1）若某個離子經過N極板后恰好垂直打在圓柱體的最高點，則此時加在極板上的電源電壓；

（2）為了使所有的離子均不能打在圓柱體上，則電源電壓需滿足什么條件；

（3）若電源電壓調為，則從極板N上哪個范圍內射出的離子能打在圓柱體上。

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）在離O1上方不大于和在離O1下方不大于的范圍內的離子均能打在圓柱體上

【解析】（1）設經過極板加速后垂直打在圓柱體的最高點時速度為v1，由動能定理知

由幾何關系知，離子在磁場中做圓周運動的半徑

又

聯立得

（2）設所有離子剛好不能打在圓柱體上時速度為v2，軌跡如圖1，此時離子的軌跡半徑

由牛頓第二定律知

聯立得

則電源電壓需滿足

（3）若電源電壓調為，由、

得，離子的軌跡半徑r=3R

畫出離子的運動軌跡如圖2所示，從O1上方P點、O1下方Q點射入的離子剛好打在圓柱體上，只有從PQ區間射入磁場的離子均能打在圓柱體上，由幾何關系知

則

同理可得

因此在離O1上方不大于和在離O1下方不大于的范圍內的離子均能打在圓柱體上。